Quadratische Funktion: Wodurch unterscheiden sich die Parabeln y = 3x² - 18x + 27 und y = 1/3x² - 2x + 3?

Question

Ich habe z.Z große Probleme mit Quadratische Funktionen. Habe hier ein paar Aufgaben bekommen die ich leider nicht lösen kann. Ich hoffe ihr könnt mir erklären wie ich am besten vorgehen muss:

1. a)  \( y = x ^ { 2 } - 3 x - \frac { 3 } { 4 } \)

1. b) \( y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 6 x - 11 \)

1. c) \( y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 4 x - 24 \)

2. Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Standardparabel mit Scheitel (5|2)?

3. Wodurch unterscheiden sich die Parabel y = 3x² - 18x + 27 und y = 1/3x² - 2x + 3?

4. Bestimmte den Scheitel der Parabel, die durch die Punkte A(-1|-38), B(1|-18) und C(3|-6) geht.

Dann habe ich noch Probleme bei bestimmen einer Funktionsgleichung von der Parabel, z.B

Bestimmten Sie die Funktionsgleichung der Parabel in Scheitelform.

A: Y = ________

B: Y = ________

wo A und B die Parabel sind, und beim Einzeichnen einer Parabel wenn eine funktionsgleichung angegeben ist wie z.B y = x² + 2, y = (x + 2)², y = (x - 1)² - 3 und y = (x + 3)² + 1

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Comments

Zum Thema gibt es hier 3 kostenlose Einführungsvideos und Material. - Damit du danach allfällige Lösungen auch verstehen kannst:

https://www.matheretter.de/mathe-videos?s=quadratische

Answer 1

 

1. Kannst du mit dem Funktionsplotter dieser Seite selbst zeichnen.

2. Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Standardparabel mit Scheitel (5|2)?

y = (x-5)^2 + 2 = x^2 - 10x + 25 + 2 = x^2 - 10x + 27

3. Wodurch unterscheiden sich die Parabel y = 3x² - 18x + 27 und y = 1/3x² - 2x + 3?

Man erhält die zweite durch Division durch 9. Das ist eine Stauchung in y-Richtung mit dem Faktor 1/9. Die Öffnung ist unterschiedlich. Die Nullstellen sind gleich. Ebenso die Scheitelstelle. vgl. auch Kommentar unten.

4. Bestimmte den Scheitel der Parabel, die durch die Punkte A(-1|-38), B(1|-18) und C(3|-6) geht.

Ansatz

y = ax^2 + bx +c. Punktkoordinaten einsetzen

1.     -38 = a - b + c       |–

2.     -18 = a +b +c      

-----------------------------

          20 = 2b → b=10

2.'    -18 = a+10 + c        |–

3.       -6 = 9a + 30 + c 

-----------------------------------

        12 = 8a + 20

         -8=8a → a=-1

In 3. -6 = -9 + 30 + c

   -27 = c

y = -x^2 + 10x -27

Umwandlung in Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung.

y= - (x^2 -10x + 25 - 25) - 27

y=-(x^2 - 10x + 25) + 25 - 27

y=-(x-5)^2 - 2

Scheitelpunkt ablesen: S(5|-2)

Hier zur Kontrolle der Graph: (Beachte y-Richtung um Faktor 10 gestaucht: 4 entspricht 40...)

Scheitelpunkt richtig bei (5, -2)

Ich habe das Folgende jetzt oben vorgerechnet. Hoffentlich kannst du's auf den Rest deiner Aufgaben übertragen. Betrachte erst mal noch die Videos.

Dann habe ich noch Probleme bei bestimmen einer Funktionsgleichung von der Parabel, z.B

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel in Scheitelform.

A: Y = ________

B: Y = ________

wo A und B die Parabel sind, und beim Einzeichnen einer Parabel wenn eine funktionsgleichung angegeben ist wie z.B y = x² + 2, y = (x + 2)², y = (x - 1)² - 3 und y = (x + 3)² + 1

 

Comments

3. Wodurch unterscheiden sich die Parabel y = 3x² - 18x + 27 und y = 1/3x² - 2x + 3?

y = 3x^2 - 18x + 27 = 3*(x^2 - 6x +9) = 3*(x - 3)^2
y = 1/3x² - 2x + 3 = 1/3*(x^2 - 6x +9) = 1/3*(x - 3)^2

Beide Parabeln haben den Scheitel (3 | 0),
die erste ist mit dem Faktor 3,
die zweite mit dem Faktor 1/3
in y-Richtung gestreckt.