Zeigen Sie, dass (xn)n∈ℕ monoton wächst; berechnen Sie lim xn. x_n+1: = x_n(2 - cx_n)

Question

Sei c>0 gegeben. Wähle einen Startwert x₀∈(0, 2/c) und definiere rekursiv

\( x_{n+1}:=x_{n}\left(2-c x_{n}\right) \quad\left(n \in \mathbb{N}_{0}\right) \)

a) Zeigen Sie, dass \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton wächst und nach oben durch \( \frac{1}{c} \) beschränkt ist.

b) Berechnen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \).

Answer 1

(1)  Es ist klar, dass  wegen  0 < x₀ < 2/c  gilt, dass  x_n > 0  für alle  n  ist.
(2)  Zeige per Induktion über  n, dass  2 - cx_n ≥ 1  für alle  n ≥ 1 gilt.
Induktionsanfang: Für  n = 1  gilt:
2 - cx₁ = 2 - cx₀(2 - cx₀) = (cx₀ - 1)² + 1 ≥ 1.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n  für das die Behauptung gilt.
Zu zeigen ist, dass die Behauptung für  n + 1  gilt.
Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
2 - cx_n+1 = 2 - cx_n(2 - cx_n) = (cx_n - 1)² + 1 ≥ 1.

(3)  Nach (1) & (2)  gilt:
x_n+1 = x_n(2 - cx_n) ≥ x_n.
Damit ist gezeigt, dass  {x_n}_n≥1  monoton steigend ist.

(4)  Zeige, dass  x_n ≤ 1/c  für alle  n ≥ 1  ist.
Für alle   n ≥ 0  gilt:
(x_n - 1/c)² ≥ 0
⇔ x_n(2 - cx_n) ≤ 1/c ⇔ x_n+1 ≤ 1/c.

(5)  Aus (1) bis (4) folgt, dass der Grenzwert  g = lim_n→∞ x_n  existiert.
Berechne  g  aus g = lim_n→∞ x_n = lim_n→∞ x_n+1 = lim_n→∞ x_n(2 - cx_n).