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Aufgabe Kreativität:

Eine Mengenfamilie \( \mathcal{F}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{n}\right\} \) heißt \( (k, \ell) \)-Blume (für \( \left.k \geq 1, \ell \geq 0\right) \), wenn alle Durchschnitte von Auswahlen von \( k \) Mengen aus \( \mathcal{F} \) gleich ein und derselben \( \ell \)-elementigen Menge sind, d.h., falls eine Menge \( B \) mit \( \|B\|=\ell \) existiert, sodass \( B=\bigcap_{i \in K} A_{i} \) für alle \( K \subseteq\{1, \ldots, n\} \) mit \( \|K\|=k \) gilt.

Zeigen Sie, dass für jede \( (k, \ell) \)-Blume \( \mathcal{F}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{n}\right\} \) gilt:

\( \left\|\bigcup \limits_{i=1}^{n} A_{i}\right\|=\sum \limits_{\emptyset \neq K \subseteq\{1, \ldots, n\} \atop\|K\|<k}(-1)^{1+\|K\|}\left\|\bigcap_{i \in K} A_{i}\right\|-(-1)^{k} \cdot\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array}\right) \cdot \ell \)

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Zunächst überleg was k+1 Elementige TEILMengen für ein Kardinalität haben und beweis es, der Kosub will Beweise sehen.

Dann betrachtest du nur die Siebsumme und endest NICHT wie dort bei k. Alles was ab k steht und die Subtraktion zum Schluss sind gleich(warum????). Jetzt gehst du zum Aufgabenblatt 2 und findest dort (n über k)=n*(n-1 über k-1). Fertig.

Die Zwischenschritte musst selbst lösen.

 

Information Engineering

Konstanz
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was ist eine Siebsumme? Nichtmal Google spuckt was aus...

@Anonym: Der Begriff Sieb könnte inspiriert sein vom Primzahlsieb und bezieht sich vermutlich auf die Schnittmenge der Ai , wenn auf eurem Aufgabenblatt resp. in eurem Kurs nichts anderes steht.

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