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a) Für alle n ∈ ℕ gilt: 6n - 5n + 4 ist durch 5 teilbar.

Induktionsanfang:

Für n=1 gilt 61 - 5 · 1 + 4 = 5

5 ist durch 5 teilbar, d.h. A(1) ist wahr.

Induktionsvoraussetzung: Gelte für n ∈ ℕ: 6n - 5n + 4, d.h. es existiert ein m in ℕ, so dass gilt:

5m = 6n - 5n + 4

Induktionsschluss:

6(n + 1) - 5(n + 1) +4 = 6(n + 1) - 5n - 1

= ...

... So hier komm ich nicht weiter. Ich habe auch ähnliche Aufgaben angeschaut, aber es hängt immer am Induktionsschluss, weil ich nicht verstehe wie man bei dem Lösungsweg weiter umformt.

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6(n + 1) - 5(n + 1) +4 = 6(n + 1) - 5n - 1

=   6*6^n - 5n - 1

= (5+1)*6^n - 5n - 1

= 5*6^n +1*6^n - 5n - 1

= 6^n - 5n +  5*6^n  - 1

=  6^n - 5n+4 - 4  +  5*6^n  - 1

=  6^n - 5n+4  +  5*6^n  - 5 

6^n - 5n+4  +  5*(6^n  - 1 ) 

Das rote geht durch 5 laut Ind.vor. und das grüne, weil der Faktor 5 davor steht.

Also auch die Summe durch 5 teilbar.

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