Betragsungleichung x²-9>abs(x-1)

Question

Hallo.

Formalitätsfrage:

Ich habe die Betragsungleichung:

x²-9 < abs(x-1)

Wir unterscheiden 2 Fälle:

I) x-1 > 0 und

II) x-1 < 0

Also damit

I) x²-9 < (x-1)

II) x²-9 < -(x-1)

Beide Ungleichungen umgeformt mit pq-Formel liefert jeweils 2 Ergebnisse, davon ist nach der Probe jeweils nur ein Ergebnis richtig.

Die pq-Formel stand dann bei beiden Fällen immer so da: x1,2 < ...

Also ich habe das Ungleichheitszeichen nie umgedreht, sosdass meine Ergebnisse nach der Probe jeweils so da stehen:

x1 < 3,37 und x2 < -3,7 (gerundet)

Das kann so ja nicht stimmen, sonst wäre nur x2 relevant. Ich weiß auch von WA, dass das Intervall 3,37 > x > -3,7 lautet.

Wie hätte ich vorgehen müssen, dass ich es schriftlich auch heraus gekriegt hätte, also so:

x1 < 3,37 und x2 > -3,7

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2-9%3Eabs%28x-1%29

Answer 1

Für die Lösungen der quadratischen Ungleichung vom Typ$$x^2+px+q<0$$gilt$$-\frac p2-\sqrt{\left(\frac p2 \right)^2-q} < x < -\frac p2+\sqrt{\left(\frac p2 \right)^2-q}.$$

Comments

Gilt das auch für

x² + px + q > 0

?

Answer 2

Wie hätte ich vorgehen müssen, dass ich es schriftlich
auch heraus gekriegt hätte, also so:

So gehe ich vor.

mfg Georg

Comments

x=1 kann bei einem der beiden Fälle noch ergänzt werden. - Ist ja  im Resultat mit eingeschlossen.

Answer 3

Du hast in der Überschrift  und bei Wolframalpha > "grösser"

in deiner Rechnung dagegen < "kleiner".

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x²-9%3Cabs%28x-1%29

Comments

Danke, die Rechnung ist die Korrekte.

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Bitte.

Bei Ungleichungen musst du dir das mit dem < und > bei x1 und x2 zusätzlich zur pq-Formel noch überlegen.

Quadratische Ergänzung, wie bei georgborn ist da weniger gefährlich.