Sauerstoffproduktion einer Pflanze in 14 Stunden. Gleichungssystem aufstellen.

Question

Im Labor wird die Menge der Sauerstoffproduktion einer Pflanze gemessen und für einen Zeitraum von 14 Stunden mit Hilfe einer Funktion 3. Grades modelliert.

Biologen haben folgende Beobachtung gemacht:

Zu Beginn der Beobachtung (t=0) beträgt die Produktionsmenge der Pflanzen 0 L. Zu diesem Zeitpunkt liegt die Produktionsrate bei 0 L/h.

Die höchste (maximale) Produktionsrate wird zum Zeitpunkt t=7 mit 42 L/h erreicht.

a) Stelle das Gleichungssystem zur Bestimmung der Funktion auf.

b) Gib an, welche mathematischen Bedingungen erfüllt sein müssen, wenn die maximale Produktionsmenge berechnet werden soll.

Answer 1

Zu Beginn der Beobachtung (t=0) beträgt die 

Produktionsmenge der Pflanzen 0L.

also f(0)=0

Zu diesem Zeitpunkt liegt die Produktionsrate bei 0 1:h

also f ' (0) = 1     (Die Einheit "L pro h" kann man weglassen,
wenn man sagt: x sind Stunden  f(x) sind L )

Die höchste (maximale) Produktionsrate wird zum Zeitpunkt t=7 mit 42 L:h erreicht.

f(7)= 42  und   f ' (7) = 42 wegen Maximum.

Gibt 4 rote Gleichungen. Passt also.

Comments

Ich würde denke, dass die Produktionsrate die erste Ableitung ist. Dann wäre die Ableitung an der Stelle 7 gleich 42 und nicht die Produktionsfunktion an sich. Habe jetzt auch die vierte Info gefunden. Wenn die Produktionsrate maximal wird, dann müsste f''(7)=0 sein.

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In der Diskussion oben sind wir auf

f ' (0) = 0 gekommen (meine ich) . 

Warum genau hast du f(7) = 42 ? 

f ' (7) = 42 und f '' (7) = 0 wäre mein Vorschlag. 

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Oh ja. Ich hatte Produktion und Produktionsrate verwechselt.

Schließe mich dem Vorschlag  f ' (7) = 42 und f '' (7) = 0

an.

Answer 2

Also müsste gelten:

f(0) = 0

f'(0) = 0

f'(7) = 42

f''(7) = 0

ax^3+bx^2+cx+d

f(0)=0=d

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f'(0)=0=c

f'(7) = 3*49*a + 14b=42

f''(x) = 6ax + 2b

f''(7) = 42a + 2b = 0

2b=-42a

b = -21a  einsetzen in f'

147a + 14(-21a) = 42

-147a = 42

a = -14/49 = -2/7

b = -21*-2/7 = 6

Demnach wäre die Funktion f(x) = -2/7x^3 + 6x^2

Und die die erste Ableitung davon f'(x) = -6/7x^2 + 12 x

Also die erste und die zweite Bedingung sind erfüllt, mal schauen ob die dritte passt:

f'(7) = -6/7*49+12*7= 42 passt!

Die vierte Bedingung:

f''(x) = -12/7x + 12

f''(7) = -12/7*7+12 = 0 passt auch, also stimmt die Funktion

 f(x) = -2/7x^3 + 6x^2

Answer 3

f ( t ) = a*t^3 + b*t^2 + c*t + d

Zu Beginn der Beobachtung (t=0) beträgt die 

Produktionsmenge der Pflanzen 0L.
f ( 0 ) = 0  => d = 0

f ( t ) = a*t^3 + b*t^2 + c*t
f ´( t ) = 3 * a * t^2 + 2 * b * t + c
f ´´ ( t ) = 6 * a * t + 2 * b

Zu diesem Zeitpunkt liegt die Produktionsrate bei 0 L:h
f ´( 0 ) = 3 * a * 0^2 + 2 * b * 0 + c = 0  => c = 0

f ( t ) = a*t^3 + b*t^2
f ´( t ) = 3 * a * t^2 + 2 * b * t
f ´´ ( t ) = 6 * a * t + 2 * b

Die höchste (maximale) Produktionsrate wird zum Zeitpunkt t=7 mit 42 L:h erreicht. 
Wendepunkt
f ´´( 7 ) = 6 * a * 7 + 2 * b = 0
f ´ ( 7 ) = 3 * a * 7^2 + 2 * b * 7 = 42

a) 

Stelle das Gleichungssystem zur Bestimmung der Funktion auf
6 * a * 7 + 2 * b = 0
3 * a * 7^2 + 2 * b * 7 = 42

42 * a + 2 * b = 0 
147 * a + 14 * b = 42

42 * a + 2 * b = 0 | * 7
294 * a + 14 * b = 0
147 * a + 14 * b = 42  | abziehen
----------------------------
147 * a = -42
a = -2 / 7
b = 6

f ( x ) = -2/7 * x^3 + 6 * x^2

Steckbriefversion
f ( 0 ) = 0
f ' ( 0 ) = 0
f ' ( 7 ) = 42
f '' ( 7 ) = 0

b)

Gib an welche mathematischen Bedingungen erfüllt sein müssen,
wenn die maximale Produktionsmenge berechnet werden soll. 

f ´ ( t )  = 0
dann mit t
f ( t ) berechnen.