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Aufgabe 3:

a) Bestimmen Sie alle Einheiten in ℤ_{15}.

b) Zeigen Sie, dass \( \overline{n-1} \text { in } Z_{n} \text { für } n \in \mathbb{N}_{>1} \) eine Einheit ist.

c) Berechnen Sie \( \overline{5^{12345}} \text { in } \mathbb{Z}_{7} \).

d) Es sei \( a \in \mathbb{Z}_{11} \). Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a alle x, y ∈ ℤ_{11}, die das Gleichungssystem in ℤ_{11} erfüllen.

$$\begin{aligned} \overline{5} x+\overline{6} y &=\overline{4} \\ \text { und } \overline{8} x+\overline{9} y &=a \end{aligned}$$

Bild Mathematik 

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zu 3:  Einheit ist ein Element, das ein inverses besitzt

in Z15 kannst du alle durchgehen

0 *x ist nie gleich 1, also 0 keine Einheit.

1*1=1   also 1 Einheit

2*x=1 passt mit x=8 also 2 und 8 Einheiten  etc.

Die Klasse von n-1 ist immer zu sich selbst invers, da

(n-1) * (n-1) = n^2 - 2n + 1 ≡ 1 mod (n)

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