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ich habe folgende zwei Aufgaben und möchte nur (!) wissen, ob ich die Grenzen richtig gesetzt habe!! :-)


a) Berechnen Sie das Doppelintegral


$$ \iint _{ D }^{  }{ f(x,y)dA } $$

wobei $$f(x,y) = { y }^{ 2 }\sqrt { x } $$ und D gegeben ist durch (x,y) mit x > 0, y > x^2 und y < 10-x^2


Meine Idee:


$$\int _{ { x }^{ 2 } }^{ 10-{ x }^{ 2 } }{  } \int _{ 0 }^{ { x }^{ 2 } }{ ({ y' }^{ 2 } } \sqrt { x' } )dx'y'$$


wobei x' natürlich nicht die Ableitung von x darstellt, sondern nur eine andere Variable!



und b)


Berechnen Sie das Dreifachintegral

$$\iiint _{ W }^{  }{ ({ x }^{ 2 } } +{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 })dxdydz$$


wobei das Gebiet W durch x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 und 0 ≤ x + y + z ≤ a gegeben ist und a > 0 eine gegebene Konstante ist.


Da habe ich leider keine Ahnung, wie ich diese Beziehung   0 ≤ x + y + z ≤ a einbauen kann...



Mir reichen wie gesagt völlig die Grenzen, integrieren mache ich selbst!

Liebe Grüße und vielen Dank


Hestia

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Statt rumzuraten und zu meinen, dass koenne man so, gilt immer noch der Ratschlag: Mache Dir eine Skizze!

Falsch ist Deine Interpretation von Fubini bzgl. der Integration ueber Normalbereiche. Die Integrale haben keine gestrichenen Integrationsvariablen und das aeussere Integral hat immer ein festes Intervall als Integrationsbereich. Und die Reihenfolge der Integrationen passt auch nicht zur Aufgabe.

Ich steuere mal die Skizze bei. Der Bereich über dem integriert werden soll müsste dir dadurch klarer werden.

~plot~x^2;10-x^2;[[-4|4|-1|11]]~plot~

Achso!

Ja dann habe ich gerade die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnet und kam auf


x1,2=± $$ \sqrt { 5 } $$ und y1,2=5


Da das äußere Integral ja immer ein festes Intervall als Integrationsbereich hat, kann ich ja meine Werte benutzen.


$$\int _{ -\sqrt { 5 }  }^{ \sqrt { 5 }  }{  } \int _{ { x }^{ 2 } }^{ 10-{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 }\sqrt { x } dydx } $$


Ist das so korrekt für die a?


LG und DANKE!!

In der Aufgabenstellung steht x > 0. Das musst du schon berücksichtigen.

Oh ja stimmt,

dann ist die untere Grenze ja dann 0, oder?


$$ \int _{ 0 }^{ \sqrt { 5 }  }{  } \int _{ { x }^{ 2 } }^{ 10-{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 }\sqrt { x } dydx }  $$

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