Grenzwerte von Folgen: Bestimmen Sie, ob die Folgen konvergieren oder divergieren

Question

Gegeben sind die Folgen:

$$ \text { (a) } a _ { n } = n - 1000 \sqrt { n } \\ \text { (b) } b _ { n } = \cos \left( \frac { n \pi } { 2 } \right) \\ ( \mathrm { c } ) c _ { n } = \frac { n ^ { 3 } - n } { 2 n ^ { 3 } + n ^ { 2 } + 2 } \\ ( \mathrm { d } ) \quad d _ { n } = \frac { 2 ^ { n } + 4 ^ { n + 1 } } { 3 ^ { n - 1 } + 4 ^ { n } } \\ ( \mathrm { e } ) e _ { n } = \frac { 2 n ^ { 3 } + n } { n ^ { 2 } + 1 } - n $$

Bestimmen Sie, ob die Folgen konvergieren oder divergieren, wenn → ∞.

Weiterhin bestimmen Sie den eigentlichen bzw. uneigentlichen Grenzwert.

Wie bestimme ich Grenzwerte von Folgen?

Answer 1

a) a_n ist nicht konvergent, da sie unbeschränkt ist:
Es ist stets möglich, ein n zu finden, sodass a_n>c für jedes beliebige c, denn:

n - 1000√n > c

n - c > 1000√n

n²-2nc + c² > 1000n

n²-(2c+1000)n + c² > 0

(n-c+500)² - 25000-1000c >0

(n-c+500)² > 25000+1000c

n-c+500 > √(25000+1000c)

n > c + √(25000+1000c) - 500

Es ist also möglich ein n anzugeben, für dass die Folge größer ist, als jede beliebige Grenze c. Die Folge divergiert also.

b) Die Folge ist ebenfalls divergent. Wie der Beweis hier genau funktioniert, weiß ich nicht, aber anschaulich ist es direkt klar:
Der Cosinus schwingt bis ins Unendliche die ganze Zeit hin und her und pendelt sich niemals auf einen Wert ein.

c) Bei solchen Brüchen ist es immer sinnvoll, den höchsten Exponenten von n aus Zähler und Nenner auszuklammern und zu kürzen:

$$ \frac { n ^ { 3 } - n } { 2 n ^ { 3 } + n ^ { 2 } + 2 } = \frac { n ^ { 3 } \left( 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) } { n ^ { 3 } \left( 2 + \frac { 1 } { n } + \frac { 2 } { n ^ { 3 } } \right) } = \frac { 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } { 2 + \frac { 1 } { n } + \frac { 2 } { n ^ { 3 } } } $$

Das ist jetzt eine Superposition konvergenter Terme (die Quotienten 1/n, 1/n² und 1/n³ konvergieren alle gegen 0), also ist auch die Superposition konvergent und der Grenzwert lautet:

(1-0)/(2+0+0) = 1/2

d) Hier funktioniert es fast genauso, nur, dass man hier die Potenzfunktion mit der größten Basis ausklammert.

$$ \frac { 2 ^ { n } + 4 ^ { n + 1 } } { 3 ^ { n - 1 } + 4 ^ { n } } = \frac { 4 ^ { n } \left( \left( \frac { 2 } { 4 } \right) ^ { n } + 4 \right) } { 4 ^ { n } \left( \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { n } + 1 \right) } = \frac { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { n } + 4 } { \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { n } + 1 } $$

Auch hier sind nun alle Einzelterme konvergent, denn Terme der Form cⁿ mit |c|<1 konvergieren gegen 0.

Der Grenzwert lautet also:

(0 + 4)/(0/3+1) = 4

e) Hier schreibt man am besten erst mal die ganze Folge auf einen Bruch. Dafür muss das n mit n²+1 erweitert werden:

$$ \frac { 2 n ^ { 3 } + n } { n ^ { 2 } + 1 } - n = \frac { 2 n ^ { 3 } + n } { n ^ { 2 } + 1 } - \frac { n ^ { 3 } + n } { n ^ { 2 } + 1 } = \frac { n ^ { 3 } } { n ^ { 2 } + 1 } $$

Da nun die Potenz überm Bruchstrich größer ist als darunter, wächst der Zähler deutlich schneller als der Nenner und der Ausdruck divergiert.