Ich beschreibe dir mal meine Vorgehensweise:
In der linearen Algebra beschreibt die Matrix M
$$ M = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } & { - \sin ( \theta ) } \\ { \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) $$
wenn man sie mit einem Vektor v = (x, y) multipliziert eine Drehung um den Winkel θ. Die beiden Gleichungen repräsentieren dabei die beiden Komponenten des Vektors, das Gleichungssystem ist also äquivalent zu
$$ \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } & { - \sin ( \theta ) } \\ { \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \end{array} \right) $$
Um diese Drehung wieder umzukehren, reicht es aus, eine Matrix heranzumultiplizieren, die die Drehung exakt rückgängig macht, also eine Drehung um den Winkel -θ.
Mit cos(-θ)=cos(θ) und sin(-θ) = - sin(θ) ist die Umkehrmatrix also:
$$ M ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } & { \sin ( \theta ) } \\ { - \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) $$
Multipliziert man die auf beiden Seiten an die Gleichung von links heran, dann hebt sie sich links gerade mit der ursprünglichen Drehmatrix weg und rechts kann man ausmultiplizieren.
$$ \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } & { \sin ( \theta ) } \\ { - \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 2 \cos ( \theta ) + \sin ( \theta ) } \\ { \cos ( \theta ) - 2 \sin ( \theta ) } \end{array} \right) $$
Mit anderen Worten, die Lösung lautet:
x = 2cos(θ)+sin(θ)
y = cos(θ) - 2sin(θ)
Falls dich diese Matrixschreibweise verwirrt, kann man auch anders an die Aufgabe herangehen, allerdings werde ich dann ein paar Sachen machen müssen, die einem so vielleicht nicht einfallen:
(I) (cosθ)x - (sinθ)y = 2
(II) (sinθ)x + (cosθ)y = 1
Stelle zwei neue Gleichungen auf, nämlich:
(III): cos(θ)*(I) + sin(θ)*(II)
(IV): cos(θ)*(II) - sin(θ)*(I)
Das ergibt die Gleichungen:
(III): (cosθ)2x - (sinθ)(cosθ)y + (sinθ)2x + (sinθ)(cosθ)y = 2cosθ+sinθ
(IV): sinθ cosθ x + (cosθ)2y - sinθ cosθ x + (sinθ)2y = cosθ-2sinθ
Die grün markierte Mischterme heben sich gegenseitig weg. Klammert man nun x und y aus, so folgt:
x [(cosθ)2+(sinθ)2] = 2cosθ+sinθ
y [(cosθ)2+(sinθ)2] = cosθ-2sinθ
Verwendet man jetzt noch den trigonometrischen Pythagoras
(cosθ)2+(sinθ)2 ≡ 1
dann folgt auch die Lösung:
x = 2cos(θ)+sin(θ)
y = cos(θ) - 2sin(θ)
