Ableitungen von 2 Funktionen: f(x)=ax² und g(x)=1/(2x²)

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Betrachtet werden die Funktionen f mit y=f(x)=ax² und g mit y=g(x)=1/(2x²).

Berechnen Sie a so, dass die Funktionsbilder sich orthogonal schneiden. Geben Sie die Schnittpunkte an.

 

(1) f(xp) = g(xp)
(2) f'(xp) * g'(xp) = -1

(1) ax² = 1/(2x²)
(2) 2ax * (-4/(2x³)) = -1

Wie weiter?

-----------------------------------------------------------------------

Betrachtet werden die Funktionen f mit y=f(x)=-x²+c und g mit y=g(x)=1/(x²).

Berechnen Sie c so, dass die Funktionsbilder sich berühren. Geben Sie die Berührungspunkte an.


(1) f(xp) = g(xp)
(2) f'(xp) = g'(xp)

Gefragt 13 Okt 2012 von Gast bh8577

1 Antwort

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a) Dein Ansatz

(1) f(xp) = g(xp)
(2) f'(xp) * g'(xp) = -1

ist auf jeden Fall richtig.

Allerdings hast du die eine Ableitung falsch berechnet:

f(x) hast du richtig abgeleitet:

f(x) = ax2

f'(x) = 2ax

g(x) = 1/2 * (1/x2)

g'(x) = - 1/x3

 

Jetzt stellst du das Gleichungssystem auf:

(1) ax2 = 1/2*(1/x2)

(2) 2ax*(-1/x3) = -1

=>
(1*) x4 = 1/(2a)

(2*) 1/x2 = 1/(2a)


Setzt beide gleich, um die Stelle zu erhalten:
x4 = 1/x2

x6 = 1

x = ±1

 

Einsetzen in (1*):

1 = 1/(2a)
2a = 1

a = 1/2

 

Für a = 1/2 schneiden sich die beiden Funktionen also an den Stellen x=1 und x=-1 im rechten Winkel.

Schnittpunkt beider Funktionen an den Stellen x=1 und x=-1

 

b) Hier funktioniert so ähnlich, dein Ansatz ist wieder richtig.

f(x) = -x2+c

f'(x) = -2x

g(x) = 1/(x2)

g'(x) = -2/(x3)

 

(1) -x2+c = 1/(x2) |*(-x2)

(2) -2x = -2/(x3) |*(-x3/2)

 

(1*) x4-cx2 + 1 = 0

(2*) x4 = 1

 

Aus (2*) folgt wieder x = ±1.

Eingesetzt in (1*):

1 - c + 1 = 0

2 - c = 0

c = 2

 

Auch hierzu noch ein Bild:

Funktionen berühren sich

Beantwortet 13 Okt 2012 von Julian Mi Experte X

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