Ableitungen von 2 Funktionen: f(x)=ax² und g(x)=1/(2x²)

Question

Betrachtet werden die Funktionen f mit y=f(x)=ax² und g mit y=g(x)=1/(2x²).

Berechnen Sie a so, dass die Funktionsbilder sich orthogonal schneiden. Geben Sie die Schnittpunkte an.

 

(1) f(x^_p) = g(x^_p)
(2) f'(x^_p) * g'(x^_p) = -1

(1) ax² = 1/(2x²)
(2) 2ax * (-4/(2x³)) = -1

Wie weiter?

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Betrachtet werden die Funktionen f mit y=f(x)=-x²+c und g mit y=g(x)=1/(x²).

Berechnen Sie c so, dass die Funktionsbilder sich berühren. Geben Sie die Berührungspunkte an.

(1) f(x_^p) = g(x_^p)
(2) f'(x_^p) = g'(x_^p)

Answer 1

a) Dein Ansatz

(1) f(x_p) = g(x_p)
(2) f'(x_p) * g'(x_p) = -1

ist auf jeden Fall richtig.

Allerdings hast du die eine Ableitung falsch berechnet:

f(x) hast du richtig abgeleitet:

f(x) = ax²

f'(x) = 2ax

g(x) = 1/2 * (1/x²)

g'(x) = - 1/x³

 

Jetzt stellst du das Gleichungssystem auf:

(1) ax² = 1/2*(1/x²)

(2) 2ax*(-1/x³) = -1

=>
(1*) x⁴ = 1/(2a)

(2*) 1/x² = 1/(2a)

Setzt beide gleich, um die Stelle zu erhalten:
x⁴ = 1/x²

x⁶ = 1

x = ±1

 

Einsetzen in (1*):

1 = 1/(2a)
2a = 1

a = 1/2

 

Für a = 1/2 schneiden sich die beiden Funktionen also an den Stellen x=1 und x=-1 im rechten Winkel.

 

b) Hier funktioniert so ähnlich, dein Ansatz ist wieder richtig.

f(x) = -x²+c

f'(x) = -2x

g(x) = 1/(x²)

g'(x) = -2/(x³)

 

(1) -x²+c = 1/(x²) |*(-x²)

(2) -2x = -2/(x³) |*(-x³/2)

 

(1*) x⁴-cx² + 1 = 0

(2*) x⁴ = 1

 

Aus (2*) folgt wieder x = ±1.

Eingesetzt in (1*):

1 - c + 1 = 0

2 - c = 0

c = 2

 

Auch hierzu noch ein Bild: