Berechnen Sie die folgende Summe ...

Question

es gilt folgende Aufgabe, für die ich einen Lösungsansatz suche:

Berechnen Sie die folgende Summe: ∑_k=2⁶⁰ 0.95^k

Gibt es hier einen Trick? Mein Taschenrechner (Casio fx-83gt) beherrscht scheinbar kein Summenzeichen – die Summe von k=2 bis 60 manuell einzugeben, stelle ich mir doch unwahrscheinlich mühsam vor.

Gruß
nino

Answer 1

Das ist eine geometrische Reihe für die es Summenformel gibt

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

∑ (k = 2 bis 60) 0.95^k = (1 - 0.95^{60 + 1})/(1 - 0.95) - (1 - 0.95^{1 + 1})/(1 - 0.95) = 17.17

Comments

vielen Dank für deine Antwort.

Könntest du mir vielleicht noch zeigen, auf welche Summenformel du dich genau beziehst bzw. wieso du noch subtrahierst? Nachdem ich mich jetzt reingelesen habe, lautet die Summenformel für die geometrische Reihe:

1-pⁿ⁺¹/1-p für p != 1

In meinem Fall würde dann gelten 1-0.95⁶⁰⁺¹/1-0.95 = 19.12
Also quasi nur der erste Teil deiner Berechnung.

Nochmal

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Man hat bei deiner Summe sowohl eine untere als auch eine obere Grenze. Das kann man Umformen, so dass die untere Grenze wie gewünscht 0 ist.

∑ (k = a bis b) = ∑ (k = 0 bis b) - ∑ (k = 0 bis a - 1)

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Ah.. ich verstehe. :) Würde also gelten, falls k=5:

∑ (k = 5 bis 60) 0.95^k = (1 - 0.95^{60 + 1})/(1 - 0.95) - (1 - 0.95⁴⁺¹)/(1 - 0.95) = 14.6 ?

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Genau. Aber das hättest du mich nicht fragen brauchen. Das gibt den Internet-Taschenrechner Wolframalpha der sowas leicht berechnet.

https://www.wolframalpha.com/input/?t=crmtb01&i=sum_k%3D5%5E60+0.95%5Ek

Answer 2

s_n = \(\sum\limits_{k=0}^{n} q^k\)  = (1 - qⁿ⁺¹) / (1- q)

\(\sum\limits_{k=2}^{60} 0,95^k\) =  \(\sum\limits_{k=0}^{60} 0,95^k\)  - 0,95⁰ - 0,95¹ 

=  (1 - 0,95⁶¹) / 0,05  - 1,95  =  17,17467381

Info:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, vielen Dank für deine Antwort.

Damit ich es richtig verstehe: -0,95⁰ - 0,95¹= -1,95, weil die Summe erst bei k=2 beginnt? Warum wird nicht pⁿ⁺¹ gerechnet?

Ich werde aus dem Wikipedia-Fachchinesisch leider nicht ganz schlau, diese Lösung könnte ich aber nach deiner und der voherigen Antwort nachvollziehen, falls -0.95⁰-0.95¹ gilt auf Grund k=2:

(1-0.95⁶⁰⁺¹⁾/(1-0.95) - 1.95 = 17.17