Satz über den Grenzwert einer Konstanten beweisen -unendlich/+unendlich

Question

A1 Beweise: Hat f den konstanten Wert f(x)=k, so gilt lim_x→∞ f(x)=k.

Meine Idee: Sei ε>0 geg. Es existiert eine Zahl M, sodass: x>M →Ik-kI<ε ↔ 0<ε , also ist M≥0 und es gilt x>0→Ik-kI<ε und somit ist lim_x→∞ f(x)=k bewiesen.

A2 Bewese:

Hat f den konstanten Wert f(x)=k, so gilt lim_x→-∞ f(x)=k .

Sei ε>0 geg. Es existiert eine Zahl N, sodass: x< N→Ik-kI<ε ↔ 0>-ε , also ist N≤0 und es gilt x<0→Ik-kI<ε und somit ist lim_x→-∞ f(x)=k bewiesen

Stimmt das?

Comments

Vielen Dank, für eure Antworten. Sie haben mir sehr geholfen :)

Answer 1

Meine Idee: Sei ε>0 geg. Es existiert eine Zahl M, sodass: x>M →Ik-kI<ε ↔ 0<ε , also ist M≥0 und es gilt x>0→Ik-kI<ε und somit ist lim_x→∞ f(x)=k bewiesen.

Prima Idee. Ich würde es aber konkreter fassen.

Wenn in einer Aussage steht:  Es existiert eine Zahl M,...

dann musst du beim Beweis eine solche angeben. Das ist hier ganz einfach, du

kannst sagen   f(x) = k ⇒ Für alle x>1 gilt  f(x) = k

Sei ε>0 geg.

  dann  gilt z.B. für alle x>1   auch    | f(x) - k | = | k - k | = 0 < eps.

Also gibt es ein M ( nämlich z. B. M=1 ) sodass gilt:

x>M →If(x) - kI <ε     q.e.d.

Answer 2

prinzipiell denkst du richtig, du schreibst es aber sehr ungeschickt hin.

Sei ∈>0.  Wähle δ > 0  beliebig, dann gilt für alle x, x₀  aus D_f: 

 -  insbesondere also für  |x - x₀| <  δ  -

| f(x) - k | = | k - k | = 0 < ∈

Damit ist der Beweis fertig.

Gruß Wolfgang