Also an sich hast du ja eigentlich fast alles schon gesagt.
Als erstes musst du aber noch die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnen - dazwischen willst du den Flächeninhalt nämlich wissen!
Also musst du erstmal die Werte ausrechnen, für die x2=x+2 gilt:
x2 = x+2 |-(x+2)
x2-x-2 = 0
Die pq-Formel liefert nun die Ergebnisse:
x1/2 = 1/2 ± √(1/4 + 2)
x1/2 = 1/2 ± √(9/4)
x1/2 = 1/2 ± 3/2
x1 = 2
x2 = -1
Jetzt musst du noch wissen, welche der beiden Funktionen oberhalb verläuft und welche unterhalb, damit du die Differenzfunktion richtig bestimmst. Dafür bietet es sich an, die beiden Funktionen wenigstens grob zu skizzieren:
An sich ist es auch nicht so schlimm, wenn du diesen Schritt überspringst, solange dir klar ist, dass die Fläche zwischen zwei Funktionen immer positiv ist! Wenn also etwas negatives herauskommt, drehst du am Ende einfach das Vorzeichen um.
Hier ist nun also die lineare Funktion die obere, also lautet die Differenzfunktion:
g(x) = x + 2 - x2
Diese musst du jetzt in den Grenzen von -1 bis 2 integrieren, das ergibt den gesuchten Flächeninhalt A.
$$ \int _ { - 1 } ^ { 2 } \left( - x ^ { 2 } + x + 2 \right) d x = \left[ - \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + 2 x \right] _ { - 1 } ^ { 2 } = \left( - \frac { 8 } { 3 } + \frac { 4 } { 2 } + 4 \right) - \left( - \frac { - 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 2 } - 2 \right) $$ $$ \int _ { - 1 } ^ { 2 } \left( - x ^ { 2 } + x + 2 \right) d x = - \frac { 9 } { 3 } + 8 - \frac { 1 } { 2 } = \frac { 9 } { 2 } $$
Die Lösung lautet also:
A = 9/2
