Berechnen Sie ||A||′ fur A

Question

ich möchte gerne wissen, wie die 4b) geht.

VIelen Dank im  voraus.

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Wäre jemand so lieb mir hierbei zu helfen, vor allem bei Aufgabenteil b) und c)? Die Definitionen stehen zwar oben, aber ich weiß einfach nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll, in unserem Skript steht auch leider weder ein Beispiel, noch ein hilfreicher Satz. Danke schon mal im voraus! 

Answer 1

Hi,
es gilt
$$ A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 2y \end{pmatrix}, $$ also gilt
$$ \| Ax \| = \sqrt{|x|^2+4|y|^2} $$ damit ist $$ \|Ax\|' = \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{\sqrt{|x|^2+4|y|^2}}{\sqrt{|x|^2+|y|^2}} = \sqrt{1+\frac{3|y|^2}{|x|^2+|y|^2}} = \sqrt{1+\frac{3}{ \left| \frac{x}{y} \right|^2+1 } } \le 2 $$ und für \( x = 0 \) wird der Wert \( 2 \) auch angenommen. Also gilt $$ \|Ax\|' = 2  $$

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Kannst du bitte einmal erklären, wie du auf die einzelnen Schritte kommst?  Zum Beispiel ||Ax||=√|x|²+4|y|² wie bist du darauf gekommen?  Ich würde das gerne einmal nachvollziehen können um die c zu lösen. Danke.

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vielen dank, würde ich auch gerne wissen :)

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Hi,
die Norm eines Vektors ist in der Aufgabe ja definiert als \( \| x \| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n |x_i|^2} \). Hier haben wir den Vektor \(  \begin{pmatrix} x\\2y \end{pmatrix} \). Das eingesetzt in die Definition ergibt den Ausdruck \( \sqrt{ |x|^2 + 4|y|^2 } \)

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Ok, würde es dann bei der c mit  ||Bx||=√|x|²+|y|² ,da B(x y)^T=(1x 1y) losgehen?

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wie bist du bei der aufgabe 4b) auf die 1+ 3|y|^2 ... gekommen ? also wie bist du auf die 1 gekommen ? müsste es nicht 1/|y|^2 sein?

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dein rechnung scheint mir nicht ganz schlüssig zu sein.

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schon gut :)

kannst du dann noch bitte das ergebnis von b sagen ? 0 ich brauche nur das ergebnis.

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Die Norm \( \| \cdot \|' \) die ihr betrachtet ist die durch die euklidische Norm induzierte Matrixnorm und man bezeichnet sie auch als Spektralnorm.

Für die Spektralnorm gilt folgendes \( \| A \| = \sqrt{ \rho(A^t A)} \) mit \( \rho = \text{ Spektralradius } = \max_{i=1 \cdots n} \lambda_i \) und \( \lambda_i \) sind die Eigenwerte der Matrix \( A^t A \)
s, https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralnorm
D.h. man rechnet jeweils die Eigenwerte von \( A^t A \) aus und bestimmt den maximalen Eigenwert und zieht dann noch die Wurzel daraus und schon hat man die Matrixnorm bestimmt.
In (b) ist der maximale Eigenwert 4, also ist die Matrixnorm  = 2 und bei (c) gilt, der maximale Eigenwert ist \( \frac{\sqrt{5}+3}{2} \) als ist die Matrixnorm \( \sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} \)

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wie bist du bei der c) auf das ergebnis gekommen ?

könntest du es bitte ausführlicher aufschreiben? also die rechnung ? wäre wirklich super nett von dir :)

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Hast Du versucht die Eigenwerte von \( A^tA \) zu berechnen? Dann schreib mal Deinen Rechenweg auf.

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Ich sitze an der selben Aufgabe fest. Also mein Weg für die eigenwerte :

Mein Problem ist nur, wie ich jetzt weiter mache, weil der vektor x ja diesmal anders ist als bei der B)

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Könnte mir vielleicht jemand einen Ansatz für die a geben? Danke

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Kann ich davon ausgehen, dass jetzt (b) und (c) klar sind?

Zu (a): Nimm die Matrix \( B \) und berechne \( B^2 \). Dann sieht man, das gilt $$ \| B \|_m = 1 $$ und $$ \|B^2 \|_m  = 2 $$ also gilt $$ \| B \cdot B \|_m  =2 > \| B \|_m \cdot \| B \|_m  = 1 $$

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Wäre es dann für die Matrix A ||A||_m=2 und ||A²||_m= 4?

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Genau                  

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ist dann deine rechnung zu a) also quasi falsch ? also muss man A^t * A rechnen usw ?

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*zur b) und was kommt jetzt bei c raus?

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Man kann die Norm auf verschiedenen Wegen berechnen. Ich habe mal zwei ausprobiert. Es kommt aber immer das gleiche raus. Ich denke jetzt ist die Aufgabe komplett gelöst.