rektifizierbarkeit zeigen

Question

Zeigen Sie, dass der Weg  γ(t) := (t,t sin(1/t))    t∈[0,1]
nicht rektifizierbar ist.

meine Frage ist jetzt erstens was heißt rektifizierbar und mir bitte beim lösen der Aufgabe helfen ich komme leider überhaupt nicht weiter :(

danke schonmal für alle Helfer

Grüßle

Comments

Schau mal zunächst unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Weg_(Mathematik)#Rektifizierbare_Wege

Da ist eine recht brauchbare Definition.

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ok also mein integral sieht ja dann so aus :

∫₀ ¹  | 1, (-1/t)cos(1/t)+sin(1/t) | dt

ich habe das jetzt abgeleitet und bekomme das raus aber mich iritiert noch das komma dazwischen

Answer 1

Hier findest du einen sehr guten Beweis:

http://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenl%C3%A4nge/x_sin_1_durch_x/Nicht_rektifizierbar/Beispiel

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danke für den link ist auch echt gut aber wenn ich jetzt mmir mein beispiel anschaue ich hab da noch ein komma dazwischen in dem beipiel ist da kein komma drin und ich habe das versucht in meine aufgabe zu übertagen und bin dabei gewaltig gescheitert .

liebe Grüße

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Was bedeutet denn das Komma in deiner Funktion ?

Warum hast du die Stammfunktion gebildet ?

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also in deinem link stand man muss die stammfunktion von der ableitung machen.

und meine funktion ist ja γ(t) = (t, sin(1/t))

ich hab hier einfach die ableitung gemacht und in die formel eingesetzt .

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Du solltest den Beweis unter
http://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenl%C3%A4nge/x_sin_1_durch_x/Nicht_rektifizierbar/Beispiel

nehmen. Da brauchst du keine Stammfunktion bilden.

Aber denk doch noch mal über das Komma in deiner Funktion nach was das bedeutet.

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Mein Komma bedeutet doch

             t sin (1/t)    für t >0

                 t               für t=1

oder

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Ich hatte es eher so interpretiert das es die Punktemenge (x, y) ist deren Weg zu bestimmen ist. Denn wenn nur die Definition für t=1 anders ist spielt das für die Streckenlänge keine Rolle.

Schau dir mal die Funktion an:

Du sollst jetzt zeigen das die Länge des blauen Graphen hier unbeschränkt ist. Ich denke das t, steht also in der Funktion nur damit du weißt das der Weg aus lauter x und y Koordinaten definiert ist.

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dann ist also meine Lösung

Σ_n=1 ^k     = 2t_n  = 2*Σ 1/(nπ + (1/2)π)  = 2/π *Σ 1/(n+(1/2))  ≥  2/π * Σ 1/(n+1)       für t_n = 1/(nπ+(1/2)π

also theoretisch könnte ich genau die Lösung so übernehmen..

aber wieso steht da t noch ich kann mir das nicht erklären hat das jetzt für mich keine bedeutung oder was?

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Ja. Ich denke du kannst die Lösung so überlehmen. Wie gesagt denke ich das t steht dort für die x-Koordinaten der Punkte. Weil die Definition als Weglänge gegeben ist und nicht als Kurvenlänge.

Wichtig wäre für dich den Beweis aber nicht einfach so zu übernehmen sondern am besten zuzuklappen und sich das ganze dann erneut herzuleiten.

Erst wenn man das schafft, hat man es wirklich verstanden.

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ok :)

also ich werde jetzt erstamal versuchen das selber herzuleiten und t einfach nicht beachten :)

ich danke dir für deine hilfe:)

daumen hoch :-)