Alle kritischen Punkte bestimmen: f(x, y) = y^2 (1 − e^{5−x} ) + x − x^2/2

Question

Kann mir bitte jemand mit dieser Aufgabe helfen? Ich weiß zwar, wie man die kritischen Punkte ausrechnet (gleich 0 setzen), jedoch kommen keine sinnvollen Ergebnisse raus.. B kann ich auch nicht

f(x, y) = y² (1 − e ^(5−x) ) + x − x²/2

(A) Bestimme alle kritischen Punkte der Funktion f und gib für jeden Punkt an ob es sich um einen Minimizer, Maximizer oder um einen Sattelpunkt handelt!

(B) Sei f(x, y) = 0. Überprüfe ob sich in einer Umgebung des Punkts Q(2, 0)

i. x als Funktion von y

ii. y als Funktion von x

darstellen lässt und berechne gegebenenfalls x 0 (y) bzw. y 0 (x) im Punkt Q!

Answer 1

Zu A)

f(x, y) = y² (1 − e ^(5−x) ) + x − x²/2 

Hinweis: Ermittlung der Sattelpunkte:

a) Bilden aller 2. partiellen Ableitungen

b)Aufstellen der Hesse Matrix

c) Einsetzen der berechneten Punkte (Extrema)

det(H) > 0 :Minimum oder Maximum , f_xx (x(e) ;y(e) < 0 ---------->Maximum ansonsten bei > 0 Minimum

det(H) <0  : Sattelpunkt

 Nachweis Extrempunkt oder Sattelpunkt :

 

Comments

Hallo GroßerLöwe,

wie kommst du von

- y² * e ^(5−x)  + 1 − x  = 0

auf
−> I)
-x +1 = 0

?

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durch Einsetzen von y=0

---

Die Aufgabe wirft  bei mir viele Fragen auf.

Ich stelle mir immer eine Funktion ( x,y ) als die Alpen vor.
f ( x,y ) ist die Höhe am Punkt.

Nun kann es für eine Gerade x = Wert  nach der partiellen Ableitung
Hoch, Tief oder Sattelpunkte geben.

Der Hochpunkt einer Funktion f (x,y ) ist so definiert das dieser
in beide Richtung eine waagerechte Tangente hat.
Wie ein Gipfel in den Alpen auch.

Du hast zunächst berechnet das der Punkt ( 5 | 0 ) in y - Richtung
eine waagerechte Tangente hat.

Dann hast du berechnet das eine Punkt mit y = 0
bei ( 1 | 0 )  in x-Richtung auch eine waagerechte Tangente hat.

Ebenso haben die Punkte ( 1 | 2 ) und ( 1 | -2 ) in x-Richtung
waagerechte Tangenten.

....

Ich mache nachher weiter weil ich jetzt Mittagessen will.

Fragen
Es gibt also keinen Punkt der Extrempunkt in beide Richtungen ist ?
für x = 6 kann ich auch ein y-Ausrechnen welcher ein Punkt mit waagerechter
Tangente ist.

---

 x = 6 kann keine Lösung sein. Du setzt 0 und 5 in die 1. Gleichung ein und bekommst die angegebenen Werte.

Ich habe das auf der Hochschule behandelt bekommen , wenn man das nie gehört hat, ist es sicher nicht ganz einfach.

Dazu gibt es viele Beträge im Internet:

Vielleicht wird es dann etwas klarer.

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Mittlerweile ist es schon klarer geworden

Partielle Ableitung nach y
f(x, y) = y² (1 − e ^(5−x) ) + x − x²/2
f(x, y) = 2 * y *  (1 − e ^(5−x) )

2 * y *  (1 − e ^(5−x) ) = 0
Ergibt als Lösung
y =  0
und
x = 5

Diese Werte in die partielle Ableitung nach x  eingesetzt
y² * ( e ^(5−x) * (-1) ) + 1 − 1/2 * 2 * x
- y² * e ^(5−x)  + 1 − x
- y² * e ^(5−x)  + 1 − x  = 0

ergibt für
y = 0  => x = 1   ( 1 | 0 )
und
x = 5  => y = 2 und y = -2  ( 5 | 2 )  und ( 5 | -2 )

Jetzt wären noch die Nachweise ob Extrempunkt / Art oder Sattelpunkt
zu führen.

Answer 2

f(x, y) = y² (1 − e ^(5−x) ) + x − x²/2 

(A) Bestimme alle kritischen Punkte der Funktion f und gib für jeden Punkt an
ob es sich um einen Minimizer, Maximizer oder um einen Sattelpunkt handelt!

Partielle Ableitung nach x
y² * ( e ^(5−x) * (-1) ) + 1 − 1/2 * 2 * x
- y² * e ^(5−x)  + 1 − x

- y² * e ^(5−x)  + 1 − x  = 0
wie man das nach x umstellen könnte weiß ich leider auch nicht.

Partielle Ableitung nach y
f(x, y) = y² (1 − e ^(5−x) ) + x − x²/2
f(x, y) = 2 * y *  (1 − e ^(5−x) )

2 * y *  (1 − e ^(5−x) ) = 0
y = 0

2.Ableitung
2 *  (1 − e ^(5−x) )

Ist
1 - e^{5-x}  > 0 : Tiefpunkt
e^{5-x} < 1
5 - x < ln ( 1 )
5 - x < 0
x > 5

x = 5 : Sattelpunkt
x < 5 :  Hochpunkt.

Ich hoffe ich konnte dir etwas weiterhelfen.