Berechnen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte von A und eine Basis des zugehörigen Eigeraums.

Question

Sei \( A=\left(\begin{array}{ccc}{2} & {-8} & {2} \\ {0} & {6} & {-1} \\ {0} & {20} & {-3}\end{array}\right) \in M(3,3, \mathbb{R}) \)

a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom \( \chi_{A}(\lambda) \) von \( A . \)

b) Berechnen Sie die Eigenwerte von \( A . \)

c) Für jeden Eigenwert \( \lambda \) berechnen Sie eine Basis des zugehörigen Eigenraums

$$ \operatorname{Eig}(A, \lambda)=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} | A x=\lambda x\right\} $$

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Titel: Sei A ∈ M(3, 3, R). Berechnen Sie das charakteristische Polynom χA(λ) von A.

Stichworte: eigenwert,basis,eigenraum

Sei A =(2       −8       2)
            (0         6     −1)
            (0       20     −3)            ∈ M(3, 3, R).
(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χA(λ) von A.
(b) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
(c) Für jeden Eigenwert λ berechnen Sie eine Basis des zugehörigen Eigenraums
Eig(A, λ) = {x ∈ ℝ³  | Ax = λx}
.

Answer 1

a) Zu bestimmen ist hier det(A - k*E)
(2 - k) * (6 - k) * (-3 - k) - 20 * (-1) * (2 - k) = -k^3 + 5k^2 - 8k + 4

b) Hier ist das charakteristische Polynom gleich Null zu setzen

-k^3 + 5k^2 - 8k + 4 = 0

Man findet hier über eine Wertetabelle die Nullstellen

k2 = 2
k3 = 1

c) Jetzt sind zu jedem Eigenwert die Eigenvektoren zu bestimmen

Für den Eigenwert 1

[2 - 1, -8, 2; 0, 6 - 1, -1; 0, 20, -3 - 1]·[a; b; c] = [0; 0; 0]

Das gibt die Lösung a = -2/5·c ∧ b = c/5

Losungsvektor ist daher [-2/5·c, c/5, c] = 1/5 * c * [-2, 1, 5]

Für den Eigenwert 1

[2 - 2, -8, 2; 0, 6 - 2, -1; 0, 20, -3 - 2]·[a; b; c] = [0; 0; 0]

b = c/4

Losungsvektor ist daher [a, c/4, c] = a * [1, 0, 0] + 1/4 * c * [0, 1, 4]

Die Lösungsvektoren sind Basis des zugehörigen Eigenraums.