Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

Question

Komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter - Kann mir da bitte einer helfen?

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
(y' = dy/dx)

y² = 2y' yx + 1

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2%3D2y%27yx%2B1

Über die Wolframalpha-App meist auch mit Schritt für Schritt Lösungen

Answer 1

y^2=2*y'*y*x+1

substituiere y^2=z

--> z'=2*y*y'

in DGL einsetzen:

z=z'*x+1

--> z'/(1-z)=1/x 

dz/dx*1/(1-z)=1/x

dz/(1-z)=dx/x beide Seiten integrieren

ln(1-z)=ln(x)+C

1-z=c*x

-z=c*x-1

z=-c*x+1

z=c₁*x+1 c_1∈ℝ

Resubstitution:

z=y^2, y=±√z

y=±√c₁*x+1

 

Comments

ich meine, die allgemeine Lösung ist

y = ± √(c • |x| + 1)    mit D_c≥0 = ℝ \ {0}     ,  und D_c<0 = ] 1/c < x < -1/c [   \ {0}    

Answer 2

Lösung durch Trennung der Variablen:

Comments

ich meine, die allgemeine Lösung ist

y = ± √(c • |x| + 1)    mit D_c≥0 = ℝ  \ {0}    ,  und D_c<0 = ] 1/c < x < -1/c [ \ {0}