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ich muss den Summenwert einer unendlichen Reihe bestimmen und weiß aber nicht richtig wie ich da vorgehen soll.

Ich habe die Reihe: 1+1/2+1/4+ 1/8+1/16+...

EDIT: +1/4 ergänzt. 

Dann lautet das allgemeine Glied ja 1/(2^n) und somit ist der Grenzwert 0.

Nun weiß ich aber nicht mehr weiter.

für eure Hilfe!

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Wir haben folgendes: $$\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^i}=\frac{\frac{1}{2^{n+1}}-1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2^{n+1}}-1}{-\frac{1}{2}}=-2\left(\frac{1}{2^{n+1}}-1\right)=-\frac{1}{2^{n}}+2$$

Da wir eine unendliche Reihe haben, nehmen wir den Grenzwert $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=0}^n \frac{1}{2^i}=\lim_{n\rightarrow \infty} \left(-\frac{1}{2^{n}}+2\right)=-\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2^{n}}+\lim_{n\rightarrow \infty} 2 =-0+2=2$$

Avatar von 6,9 k

Ich verstehe nicht so ganz wie du auf den ersten Schritt gekommen bist....

Wir betrachten die unendliche Reihe. Um den Wert zu berechnen, betrachten wir erstmal die endliche Reihe und suchen dann den Grenzwert für n=∞.

Wir benutzen folgende Formel:

$$\sum_{i=0}^n y^i=\frac{y^{n+1}-1}{y-1}$$

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"Dann lautet das allgemeine Glied ja 1/(2n) "

nur, wenn du 1/4 vergessen hast.

"und somit ist der Grenzwert 0. "

Nein. Nur die Summandenfolge konvergiert gegen 0. Die Summe (Reihe) nicht. 

Kontrolliere erst mal deine Angaben bei: ": 1+1/2+1/8+1/16+... "

1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...= 2

Avatar von 162 k 🚀

Oh ja stimmt, tut mir leid!

1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...= 2 

Befolge den Tipp von 0815

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...)* (1 - 1/2)

1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+... - (1/2+1/4 + 1/8+1/16+1/32.....) 

= 1         [ alle übrigen "Summanden heben sich gegenseitig auf. 

Daher:

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...)* (1 - 1/2) = 1

Also

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...) = 1/ (1 - 1/2) 

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...) = 1/(1/2) 

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...) = 2. 

Ah super das leuchtet mir ein!

Bitte. Gern geschehen.

Ansonsten könntest du auch mit der Formel für "geometrische Reihen" arbeiten. Suche mal nach diesem Stichwort in Wikipedia oder besser in deinen Unterlagen.

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Hi, erweitere doch die Reihe mal mit \(\left(1-\frac12\right)\).

Avatar von 26 k

Wie komme ich denn drauf die mit (1-1/2) zu erweitern?

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Zugabe für Leute die gern 2 Schritte weit denken und die Ausgangsaufgabe zu einfach finden:

Wer sagt denn, dass die Glieder-Funktion 1/2^x ist?

Es könnte auch f(x)= 24/(x^4-2 x^3+11 x^2+14 x+24)

oder etwas anderes sein...

die Summe davon konvergiert gegen

=2.01748224913982724163128686480339388967641925484...

eine vermutlich irrationale Zahl aus mehreren Digamma Funktionswerten :-)

Avatar von 5,7 k

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