Integralrechnung dv/(sinh(v) * cosh(v)) dv

Question

Hallo Leutz,

Ich habe ein Problem bei folgendem Integral.

undzwar direkt der Anfang
Ich frage mich warum hier zwei mal dv steht.

Wenn es sowas wie 1 oder x^0 wäre dann wäre doch das Integral daraus v oder etwa nicht ?
Wie gehe ich hier vor. Eine Schrittweise Erklärung wäre hier erwünscht.

Danke nochmals für eure Mühe :)

Answer 1

Hi, da scheint sich ein dv eingemogelt zu haben. Hast ja auch nur ein Integral.

Wenn man keine Ahnung hat wie man hier rangeht, würde zumindest das Umwandeln in die e-Funktion relativ leicht zum Ziel führen.

Hier tut man sich allerdings mit einer Erweiterung recht einfach.

$$\int \frac{1}{\cosh(v)\sinh(v)}\; dv = \int \frac{\cosh(v)}{\cosh(v)^2\sinh(v)} \; dv =\int \frac{\frac{1}{\cosh(v)^2}}{\frac{\sinh(v)}{\cosh(v)}} \;dv $$

Im Nenner habrn wir damit tanh(v) und es gilt \(\int \frac{f'}{f} = \ln(f) + c\)

Bei uns also letztlich:

$$\ln(\tanh(v)) + c $$

Grenzen eingesetzt führt auf den Wert: 0,0513

Grüße

Comments

Also muss oder darf hier nicht zwei mal ein dv stehen oder?

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Ich verstehe das da eine 1 im Zähler steht. Ich weiss auch das es ein Additionstheorem für Hyperbolische Funktionen gibt das besagt das: cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1 ergibt. Also würde ich hier cosh^2(x) - sinh^2(x) einsetzen.

Könnte ich damit nichts anfangen ?

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Ich verstehe den ersten Schritt bei dir nicht.

Wie kommst du darauf das im Zähler Cos(v) steht ?

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cosh(v) sorry

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Ok hab deins jetzt verstanden.

Hast den Zähler und nenner mit cosh(v) erweitert.

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Du hast nur ein IntegralZeichen, damit hast Du auch nur eine zugehörige Integrationskonstante indiziert durch dv. Einmal reicht^^.

Genau mit cosh erweitert um auf die Form f'/f zu kommen. Damit klar? :)

Answer 2

Eine weitere Möglichkeit:

Setze vor der Integration:

sinh(v)= 1/2 (e^v - e^{-v})

cosh(v)= 1/2 (e^v +e^{-v})

Danach Substitution z= e^v

Comments

Das habe ich noch nicht verstanden

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Ich weiss, dass man sinh und cosh als e Funktionen ausdrücken kann.

Jedoch komm ich mit dem Ansatz e^v zu substituieren nicht weit.

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Meine Berechnung: