Welche Kurve kt berührt den Graphen von g(x) = 0,5(3x^{2}+7)?

Question

Für jedes t>0 ist eine Funktion f_t gegeben durch f_t(x)=tx - x^3. Ihr Schaubild sei k_t.

g(x) = 0,5(3x²+7)

Bestimmen Sie diejenige Kurve k_t, die den Graphen g(x) berührt, benennen Sie die Koordinaten des Berührpunktes und die Gleichung der gemeinsamen Tangente.

Answer 1

g(x) = 0.5·(3·x^2 + 7) = 1.5·x^2 + 3.5

f(x) = t·x - x^3

g'(x) = f'(x)

3·x = t - 3·x^2

x = (√(12·t + 9) - 3)/6

Schnitpunkte g(x) = f(x)

1.5·x^2 + 3.5 = t·x - x^3

1.5·((√(12·t + 9) - 3)/6)^2 + 3.5 = t·((√(12·t + 9) - 3)/6) - ((√(12·t + 9) - 3)/6)^3 --> t = 6

Sollte so seit für t = 6

Der Rest sollte dann eigentlich ein Kinderspiel sein.