Sinusgleichung lösen: sin(x+(π/3)) = 0,7513

Question

sin(x+(π/3)) = 0,7513

Wir haben in der Schule gelernt, dass man hier das Argument im Sinus, in diesem Fall x+(π/3) substituiert und dann wie gehabt den arcsin anwendet.

Ich habe gerade eine andere Gleichung zu lösen.

sin(0,5π*x + (π/4))=-1

Hier lautet der Lösungsansatz in meinem Buch:

0,5π*x + (π/4))= -0,5π*+n*2π

Warum wird hier nicht wie oben das Argument substituiert und dann wie gehabt mit arcsin die Gleichung gelöst?

Answer 1

Hallo Simon,

die Substitution kann man sich ersparen, wenn man berücksichtigt, dass beim Auflösen von sin die Periode der "normalen" Sinusfunktion anzuwenden ist. Letzteres wird bei sin(z) direkt deutlich.

sin(0,5π*x + (π/4)) = -1   |  arcsin anwenden: 

0,5π*x + π/4 = - π/2 + k • 2π (k∈ℤ)   wegen der periodischen Wiederholung   #

oder (weil es in jeder Periode zu jedem u noch den Wert π-u mit dem gleichen sin-Wert gibt)

0,5π*x + (π/4) = - π/2 + k • 2π   wegen der periodischen Wiederholung 

jetzt beides nach x auflösen, dann bist du fertig.

z.B.  0,5π*x + π/4 = - π/2 + k • 2π  | -π/4

0,5π * x = - 3π/4 + k * 2π  | : 0,5π

   x = -3/2 + k * 4   oder  x = ....

Gruß Wolfgang

Comments

0,5π*x + (π/4) = - π/2 + k • 2π (k∈ℤ)   wegen der periodischen Wiederholung 

Aber die Periode ist doch hier gar nicht 2π, sondern 2π/0,5*π = 4 oder nicht?

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Die Periode 4 kommt ja dann auch raus, wenn du nach x aufgelöst hast, weil erst dabei das Argument berücksichtigt wird.

Vorher beseitigst du ja nur den Sinus, und der hat eben die Periode 2π.

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Stimmt :)

Eine Frage noch

0,5π*x + π/4 = - π/2 + k • 2π

Hätte ich hier auch den Ansatz

0,5π*x + π/4 = 1,5π + k • 2π

machen können?

Also zu -0,5π einfach 2π dazu addieren und dann auflösen?

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Im Prinzip ja , dann würden sich einfach alle k-Werte um 1 vermindern

Allerdings wäre dann die Umformungsangabe  arcsin nicht mehr richtig, weil diese Funktion den eindeutigen Wert arcsin(-1) = - π/2 hat

Answer 2

substituiert wird gar nicht; Du löst einfach nach x auf:

sin(x+(π/3)) = 0.7513

x+(π/3) = arcsin(0.7513)

x = arcsin(0.7513)-pi/3

Deine andere Aufgabe macht das Gleiche:

sin(0.5π*x + (π/4)) = -1

0.5π*x + (π/4) = arcsin(-1) = -90°+360°*k

Die Frage heißt hier: Wann wird der Sinus -1, und das ist bei -90°, aber auch wenn Du noch beliebig oft um den Kreis zusätzlich herumläufst.

Grüße,

M.B.

Comments

sin(x+(π/3)) = 0.7513

x+(π/3) = arcsin(0.7513)

x = arcsin(0.7513)-pi/3

Warum wird hier nicht +k*2π addiert?