Vollständige Induktion? ^2n Summe_(k=1) ((-1)^k)*k = n beweisen.

Question

Abend :)

Ich soll folgende Aufgabe mittels vollständiger Induktion lösen und komme beim IS einfach nicht weiter. Für n=1 bekomme ich die richtige Lösung aber dann scheiterts :S

2n Summe k=1   ((-1)^k)*k = n

Mein Ansatz wäre wenn wir von n -> n+1 schließen

IV :2n Summe k=1   ((-1)^k)*k + ((-1)^{n+1})*(n+1)

und dann                       n         + ((-1)^{n+1})*(n+1)

aber da simmt denke was nicht :S hat jemand eine Idee??

Answer 1

Zu zeigen:  \(\sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^k*k\) = n   für alle n∈ℕ

Induktionsbasis: n=1

 \(\sum\limits_{k=1}^{2} (-1)^k*k\)  = -1 * 1 + (-1)² * 2 = 1

Induktionsschluss:  Die Aussage sei gültig für ein festes n∈ℕ [IV]

 \(\sum\limits_{k=1}^{2·(n+1)} (-1)^k*k\) =  \(\sum\limits_{k=1}^{2n+2} (-1)^k*k\)

 =  \(\sum\limits_{k=1}^{2n}  ((-1)^k*k\)) - (2n+1) + (2n+2)  

=_IV  n - (2n+1) + (2n+2)  = n+1

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Nur noch eine Frage. Wieso steht ein - vor (2n+1)?

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Schon gut. Frage selbst beantwortet :)

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das ist immer am lehrreichsten :-)

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Kann mir jemand mit zwischen Schritten erklären, wie ihr auf das Ergebnis kommt?

Ich stehe echt auf dem Schlauch!

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Kann mir jemand mit zwischen Schritten erklären, wie ihr auf das Ergebnis kommt?

Ich stehe echt auf dem Schlauch!