x,y ∈ Rn . Zeigen Sie: ⟨x,y⟩ = 1/4 ( || x+y ||2 - ||x-y||2 )

Question

Es seien x,y  ∈ Rⁿ  . Zeigen Sie: ⟨x,y⟩ = 1/4 ( || x+y ||² - ||x-y||² ) wobei ⟨ · , · ⟩ das Skalarprodukt auf Rⁿ bezeichnet.

Answer 1

mit x = ( x1,x2,...,xn ) und y entsprechend gilt

1/4 ( || x+y ||² - ||x-y||² ) 

=   1/4 (    ( x1+y1)² + (x2+y2)² + ... (xn +yn)²  -   (    ( x1+y1)² + (x2+y2)² + ... (xn +yn)²  )   ) 

=  1/4 (    x1²   +  2x1y1 +y1² + ..........+xn² +2xnyn  +yn²  - 
                      (       x1²   -  2x1y1 +y1² + ..........+xn² -2xnyn  +yn²    ) 

=1/4 (     2x1y1  + ..........+ 2xnyn     + 2x1y1  + ..........+2xnyn  )
                     

=1/4 (     4x1y1  + ..........+ 4xnyn   )

=   x1y1  + ..........+ xnyn   

= < x,y >