Antwort mit KI erzeugt
Von Halbwertszeit in e-Funktion
Um von der Halbwertszeit auf eine e-Funktion zu kommen, verwenden wir die Exponentialfunktion in der Form \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\), wobei \(N(t)\) die Anzahl nach der Zeit \(t\), \(N_0\) die Anfangsmenge, \(e\) die Basis des natürlichen Logarithmus und \(\lambda\) die Zerfallskonstante ist.
Die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) ist die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglichen Menge \(N_0\) zerfallen ist, das heißt \(N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}\).
Setzen wir dies in die Exponentialfunktion ein, erhalten wir:
\(
\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda T_{1/2}}
\)
Umstellen nach \(e^{-\lambda T_{1/2}}\) und Kürzen durch \(N_0\) ergibt:
\(
e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2}
\)
Anwenden des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten führt zu:
\(
-\lambda T_{1/2} = \ln\left(\frac{1}{2}\right)
\)
Da \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)\), erhalten wir:
\(
\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}
\)
Nun können wir die Zerfallskonstante \(\lambda\) in die Formel \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\) einsetzen und erhalten die e-Funktion basierend auf der Halbwertszeit:
\(
N(t) = N_0 \cdot e^{-\left(\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}\right) t}
\)
Von e-Funktion zur Halbwertzeit
Um von einer gegebenen e-Funktion die Halbwertszeit zu bestimmen, verwenden wir die Exponentialfunktion in ihrer allgemeinen Form \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\), wobei wir jetzt \(\lambda\) kennen.
Die Halbwertszeit ist definiert durch die Gleichung \(N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}\).
Setzen wir unsere e-Funktion in diese Definition ein, erhalten wir:
\(
\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda T_{1/2}}
\)
Nach dem Kürzen durch \(N_0\) und Anwenden des natürlichen Logarithmus erhalten wir:
\(
-\lambda T_{1/2} = \ln\left(\frac{1}{2}\right)
\)
Löst man das nach \(T_{1/2}\) auf, ergibt sich:
\(
T_{1/2} = \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{-\lambda} = \frac{\ln(2)}{\lambda}
\)
Da \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)\), vereinfacht sich das zu:
\(
T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}
\)
Wir haben die Formel bereits in der ersten Ableitung hergeleitet, was zeigt, dass die Prozesse reziprok sind. Somit haben wir erfolgreich die Umwandlung zwischen der Halbwertszeit und der Form der e-Funktion dargestellt.
