N in Ungleichung bestimmen und Ungleichung beweisen. n! > (n+10)2^n für alle n≥N.

Question

hab hier Probleme einen Startpunkt zu finden. Wie gehe ich hier vor. Muss ich für beide Seiten Gleichungen aufstellen oder versuchen (n+10)2^n zu vereinfachen?

Mfg

Comments

Kann doch eigentlich auch einfach N=7 bestimmen und das ganzen mit Induktion beweisen.

Damit hätte ich n!*(n+1)>(n+11)2^{n+1}

n! ersetzte ich dann mit (n+10)2^n

und vereinfache dann zu n^2+11n+10*2^n>(n+11)2^{n+1}

Genügt das so???

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An sich ist die Reihenfolge wurscht. Du musst trotzdem noch bestimmen, ab welchem n der IS klappt, bzw. dass er mit n ≥ 7 (wenn Du das so gefunden hast) durchgeht.

(n²+11n+10)*2ⁿ>(n+11)2ⁿ⁺¹ ist ja gerade die Wunschungleichung. Und wo ist die Lösung dazu?

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Bei letzterer Gleichung würde ja n≥2 genügen. Dies lässt sich jedoch nicht auf die Ursprungsgleichung zurückführen. Welche eben erst ab n≥7 funktioniert.

Oder sagt mir das nur, dass das ganze letztendlich funktioniert?

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Du benötigst aber  n ≥ 7 als Voraussetzung für den "Startwert" bei der Induktionsbasis.

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Das habe ich versucht zu beachten. Mit der Induktion wollte ich doch nur zeigen, dass dies für jedes Folgende n>=7 gilt. Oder habe ich dies nun noch nicht getan?

Stehe gerade auf dem Schlauch, was mir die Lösung diese"Wunschungleichung" sagt.

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Mit der Induktion wollte ich doch nur zeigen, dass dies für jedes Folgende n>=7 gilt.

Und wo bitteschoen hast Du das gezeigt? Das Einzige, was man hier sehen kann, ist, dass Du auf N=7 durch Probieren gekommen bist. Wenn Du mit dem Begriff "Wunschungleichung" nichts anfangen kannst, dann schuldest Du noch den kompletten Induktionsschritt.

Answer 1

In der Ungleichung kommt ein linearer Term, eine Fakultaet und ein exponentieller Term vor. Da kann man nicht erwarten, dass man die Ungleichung mit algebraischen Umformungen loesen kann.

Stell Dir stattdessen vor, da staende drueber: Beweisen Sie mit vollstaendiger Induktion, und N waere vorgegeben.

Mit dem Induktionsschritt faengst Du an. Nachdem Du die Induktionsannahme inverstiert hast, kannst Du eine Wunschungleichung aufstellen, die gelten muss, damit der Induktionsschritt auch wirklich funktioniert. Loese die. Es kommt z.B. raus, dass der Induktionsschritt für n ≥ 2 klappen wird.

Als naechstes musst Du noch einen Induktionsanfang beginnend mit n = 2 durch Probieren herausfinden. Die erste Zahl, mit der es klappt, ist dann Dein N.

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Danke, ist das dann so korrekt wie ich das oben versucht habe? Wenn ich dann noch durch 2^n teile und das ganze vereinfache?