ich habe folgende Fragen:
a) Es sei X:Ω→ℝ eine Zufallsvariable mit Wertebereich X(Ω). Sei weiterhin Y=g(X). Bestimme in den folgenden Fällen den Erwartungswert E(Y^r), r∈ℕ, und Var(Y).
mit X(Ω)=ℕ (einschließlich der 0) und X - Poi(y), λ>0, g(x)=exp(2x). Verwende exp(x)= $$\sum _{ k=0 }^{ unendlich }{ (x^ k)/k! } $$
Da hätte ich folgendermaßen angefangen:
E[Y^r]= $$\sum _{ k=1 }^{ unendlich }{ g(x)*P(X=x) } $$
= $$\sum _{ k=1 }^{ unendlich }{ exp(2x)^ r·(y^ k)/k!*exp(-y) } $$ // Die Schrägstriche bedeuten nur, dass der nachfolgende Ausdruck im Exponenten steht; Der zweite Faktor in der Summe ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Poi(y)
b) Sei p∈(0;0,5) und X eine Zufallsvariable mit Zähldichte fx wobei fx(-1)=fx(1)=p sowie fx(0)=1-2p. Zeige für r∈ℕ, dass der r-te Moment von X existiert und es gilt:
E[X^r]={0, falls r ungerade und 2p falls r gerade
Da hätte ich so angefangen:
Ω={-1,0,1}, E[|x|^r]=|-1|^1*p+|0|^r|*(1-2p)+|1|^r*p=2p
das problem sind die betragsstriche, wenn die nicht da wären, ist es ja klar, dass für alle ungeraden r 0 herauskommt, da meine x aber auch negative zahlen enthalten, weiß ich nicht, wie ich die betragsstriche wegbekomme
Kann mir da jemand helfen??
Gruß
