0 Daumen
1,7k Aufrufe
Es sollen oben geschlossene Blechbehälter in Form von quadratischen Prismen hergestellt werden, die ein Fassungsvermögen von V=4Liter haben. Wie sind die Blechbehälter zu dimensionieren, damit der Materialverbrauch minimal ist ??
Avatar von
Ein vorgerechnetes einfaches Beispiel einer Extremwertaufgabe findest du z.B. hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwertaufgabe#Anwendungsbeispiel

1 Antwort

+1 Daumen

Sei a die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche des Prismas.

Dann gilt als Nebenbedingung:

V = a ² * h ( a ) = 4

<=> h ( a ) = 4 / a ²

Minimiert werden soll die Oberfläche O ( a ) des Prismas, für diese gilt:

O ( a ) = 2 * a ² + 4 * a * h ( a ) 

Nebenbedingung einsetzen:

O ( a ) = 2 * a ² + 4 * a * 4 / a ²

= 2 a ² + 16 / a

Ein Minimum kann nur an einer Stelle a vorliegen, an der die Ableitung von O ( a ) eine Nullstelle hat, also:

 

O ' ( a ) = 4 a - 16 / a ² = 0

<=> 4 a = 16 / a ²

<=> 4 a ³ = 16

<=> a ³ = 4

<=> a = 4 1 / 3

Da die zweite Ableitung O ' ' ( a ) an der Stelle a = 4 1 / 3 positiv ist (nachprüfen!), liegt an dieser Stelle tatsächlich ein Minimum der Oberfläche des Prismas vor. 

Für die Höhe h ( a )  des Prismas gilt an dieser Stelle:

h ( 4 1 / 3 ) = 4 / a ² = 4 / 4 2 / 3 = 4 1 / 3

Die Seitenlänge a des Prismas und seine Höhe sind also gleich, damit ist das Prisma ein Würfel mit der Kantenlänge a = 4 1 7 3. Und so muss es auch sein, denn bekanntlich hat ein Würfel von allen Quadern gleichen Volumens die kleinste Oberfläche. 

Avatar von 32 k

Tippfehlerkorrektur:

Die Kantenlänge des Würfels ist natürlich nicht a = 4 173  sondern a = 4 1 / 3  ... :-)

Noch eine Ergänzung: Die Einheit von a ist dm, da 1 Liter = 1 dm^3

a=4^{1/3} dm = ca. 1.587 dm = 15.87 cm
muss ich nun den wert von a in die Oberfläche einsetzen???

weil O muss ich auch berechnen

(6*3wurzel aus 16 quadratmetern) ich brauch bitte eine Skizze kann es mir nicht bildlich vorstellen Lg
O = 6* (4^{1/3}) ^2 dm^2 = ca. 15.119 dm^2 = 1511.9 cm^2

Aufgabenstellung: Form von quadratischen Prismen. Das ist ein Säule mit quadratischer Grundfläche.

Resultat: Die Säule ist genau so hoch, wie eine Seite ihrer Grundfläche, also ein Würfel.

Das kannst du doch zeichnen. Oder?
unter der 3ten wurzel sollte 16 stehen
Richtig. oder über der 3. Wurzel noch ein Quadrat. Beachte die Einheit. Das gibt erst mal dm^2 .

Ja, a ist die Kantenlänge des Prismas (Würfels). Um seinen Oberflächeninhalt zu berechnen kannst du entweder a in die Formel für O ( a ) einsetzen (die Formel findest du oben in meinem Beitrag):

O ( 4 1 / 3 ) = 2 * ( 4 1 / 3 2 + 16 / 4 1 / 3 = 15,12 dm ² (gerundet)

oder du verwendest die allgemeine Formel für den Oberflächeninhalt eines Würfels, nämlich:

O ( a ) = 6 * a ²

mit a = 4 1 / 3 :

O ( 4 1 / 3 ) = 6 * ( 4  1 / 3 ) 2  = 6 * 4 2 / 3  = 15,12 dm ² (gerundet)

 

Wofür brauchst du eine Skizze? Was genau kannst du dir nicht bildlich vorstellen?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community