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Ich brauche bitte die Vorgehensweise, wie ich eine Basis von einem Vektorraum bestimmen kann.

Geben Sie für die folgenden Vektorräume eine Basis an:

{(x1,x2,x3,x4)∈R4 :x1 +3x2 +2x4 =0,2x1 +x2 +x3 =0}

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Hallo start,

Geben Sie für die folgenden Vektorräume (?) eine Basis an: 

   U =  { (x1,x2,x3,x4)∈ ℝ4 : x1 + 3x2 + 2x4 = 0,2x1 +x2 + x3 = 0 } 

ich schreibe x,y,z,w statt der indizierten x: 

Bei zwei Gleichungen mit 4 Unbekannten bleiben 2 Unbekannte (z.B. w und z) frei wählbar.

x + 3y + 2w = 0    I

0,2x + y + z = 0 | * 5

x + 5y + 5z = 0    II

II - I:   2y + 5z - 2w = 0   →  y = w - 5/2 z

y in I:   x + 3*( w - 5/2 z) + 2w = 0   →  x = 15/2 z - 5w

→  U = { (15/2 z - 5w | w - 5/2 z | z | w )∈ ℝ4 :  z,w ∈ ℝ } 

     U  =   {  z • (15/2 , -5/2 , 1 , 0) + w * ( -5 , 1 , 0 , 1 ) : z,w ∈ ℝ }

         =  < (15/2 , -5/2 , 1 , 0) , ( -5 , 1 , 0 , 1 ) >  

(15/2 , -5/2 , 1 , 0) ; ( -5 , 1 , 0 , 1 ) } ist eine Basis von U

Gruß Wolfgang

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Danke Wolfgang,

das kann ich alles nachvollziehen, aber braucht der 4 nicht 4 linear unabhängige Vektoren als Basis?

Gruß start

Für den Vektorraum ℝ4 ja.

Hier handelt es sich aber um einen Unterraum der Dimension 2 von ℝ4

ok, und woran erkennt man das?

Gruß start

An der Anzahl der frei wählbaren Variablen bei der Darstellung von U. Das ist dann auch die Anzahl der Basisvektoren.

Wow Wolfgang, danke dir. Super Erklärung, einfach verständlich;-)

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