M = {(x,y,2x+3y) € R^3 | x,y €R} c R^3 Untervektorraum?

Question

habe dies als Algebra Aufgabe bekommen...

Ich weiß, dass ich, um einen Untervektorraum zu beweisen, zeigen muss, das diese Menge M nicht leer sein darf und auch das man bzgl. Addition und Skalarprodukt prüfen muss...

Allerdings bin ich mir unsicher, wie ich speziell bei dieser Aufgabe Vorgehen soll, kurz gesagt, ich habe mich verwirren lassen von dem 2x+3y als dritte "Koordinate" und dem Argument x,y €R ...

Wäre cool wenn mir jemand weiterhelfen kann

Answer 1

 

> ich habe mich verwirren lassen von dem 2x+3y als dritte "Koordinate" 

Dritte Koordinate  2x+3y bedeutet nur, dass sich diese für alle Elemente von M auf diese Weise aus den beiden ersten Koordinaten ergibt, was ja nicht bei allen Elementen von ℝ⁴ der Fall ist.

> M = { ( x , y , 2x+3y) ∈ ℝ³ | x,y ∈ ℝ }  Untervektorraum ? 

Nach dem  Unterraumkriterium  musst du Folgendes zeigen:

1)  M ≠ { }      

      das ist  erfüllt, , weil   (0,0,0) = ( 0 , 0 , 2*0 + 3* 0 ) ∈ M  

2)  u,v ∈ M  ⇒  u+v  ∈  M

     Seien  u = ( x , y , 2x+3y) und v = (a, b, 2a+3b) 

     u+v = ( x+a , y+b , 2x+3y+2a+3b )  =  ( x+a , y+b , 2·(x+a) +3·(y+b) )  ∈ M 

3)  u∈M und r∈ℝ  ⇒ r·u ∈M

     Sei u =  ( x , y , 2x+3y)  ∈ M  

     r · u  =  ( rx , ry , r·(2x + 3y))  =  ( rx , ry , 2·rx + 3·ry )  ∈ M  

Gruß Wolfgang