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Ich komme bei dem folgenden Aufgabenteil b nicht weiter. a habe ich bereits gelöst. Kann mir jemand erklären, was ich bei ℤ/3ℤ anders machen muss. 


Aufgabe: Gegeben ist ein Körper K mit den folgenden Untervektorräumen:

U = {(x,y,z) ∈ K3 | x + y + z = 0}

V = {(x,x,x) | x ∈ K}

a) Es ist zu zeigen, dass für K = ℝ gilt: K3 = U + V und U ∩ V = {0}.

b) Welche dieser Eigenschaften gilt für K = ℤ/3ℤ?


zu a: 

U besteht aus der Basis ⟨(1,0,-1), (0,1,-1)⟩.

V besteht aus der Basis ⟨(1,1,1)⟩

U ∩ V:

Angenommen es gibt ein x in U ∩ V, dann erfüllt dies folgende Eigenschaften:

a,b,c ∈ ℝ

x = a * (1,0,-1) + b *(0,1,-1) = (a,b, -a-b)  (weil es in U liegt)

x = c * (1,1,1) = (c,c,c)   ( weil es in V liegt)

wenn man nun x = x setzt, dann erhält man, dass a = b = c = 0 gelten muss und somit der Schnitt nur den Nullvektor enthält.

U + V:

Dann erhält man eine neue Basis, die ⟨(1,0,-1), (0,1,-1),(1,1,1)⟩ lautet. Dort habe ich ebenfalls geprüft, ob die Basis linear unabhängig ist (mit a,b,c ∈ ℝ).

a * (1,0,-1) + b * (0,1,-1) + c * (1,1,1) = (0,0,0)

Dort erhält man ebenfalls als einzige Lösung a = b = c = 0.

Avatar von

Was ergibt denn 1+1+1 = ... in Z/3Z?

ach klar, das ergibt ja wieder 0. Ich danke dir :)

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