Lineare Abbildung R² ->R². f_1((2, 2)) = (3, 0)

Question

und zwar muss ich Aufgaben bzgl. lineare Abbildungen lösen und würde gerne wissen,

wie ich die lineare Abhängigkeit beweisen kann, bei folgendem Beispiel:

In f₁ werden Vektoren auf R² eingesetzt und sollen auch wieder herauskommen.

f₁((2, 2)) = (3, 0)

Ich habe die Herleitung zu dieser  Formel gefunden:

 f(a1*v1 + a2*v2) = a1*f(v1) + a2*f(v2)

Und frage mich jetzt wie ich das ganze auflöse bzw. einsetze.

Habe bisher:

2*v1+2*v2 = 3*v1+0*v2

Aber das ist ja nur eingesetzt und wie kann ich jetzt zeigen das es linear Abhängig ist, bitte einmal erklären für Dummies.

Comments

Was ist die Aufgabe?

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Die Aufgabe ist mir zu zeigen ob das was ich da gemacht habe richtig ist, wie ich es weiter mache und wenn es falsch ist mich zu korrigieren.

Answer 1

Ich denke mal, du meinst, dass \(f_1\) nicht bijektiv ist, bzw. die Basisvektoren auf linear abhängige Vektoren abbildet.

Eine Angabe ist zu wenig, um diese Aufgabe zu lösen.

\(v_1,v_2\) sind hier Basisvektoren vom Vektorraum \(V\). In unserem Fall also von \(\mathbb R^2\). Nehmen wir mal die Standardbasisvektoren \(e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) und \(e_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\).

Dann gilt wegen der Linearität: $$f_1\left(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\right)=f_1(2\cdot e_1+2\cdot e_2)=2\cdot f_1(e_1)+2\cdot f_1(e_2) \overset!=3\cdot e_1+0\cdot e_2=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}.$$

Also müssen wir die Gleichung

$$2\cdot f_1(e_1)+2\cdot f_1(e_2)=3\cdot e_1+0\cdot e_2$$ nach \(f_1(e_1)\) und \(f_1(e_2)\) lösen, oder etwas einfacher, die Gleichung

$$2\cdot a+2\cdot b=3\cdot e_1$$ nach \(a\) und \(b.\)

Da \(a\) und \(b\) Vektoren sind, sagen wir mit Komponenten \(a_1, a_2\) bzw. \(b_1, b_2\), können wir die Gleichung umformen zu:

$$2\cdot \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=3\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.$$

Man kann das zusammenfassen zu:

$$\begin{pmatrix}2\cdot a_1+2\cdot b_1\\2\cdot a_2+2\cdot b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}.$$ Oder anders angeschrieben:

$$2\cdot a_1+2\cdot b_1=3\ \land\ 2\cdot a_2+2\cdot b_2=0.$$ (\(\land\) ... "und")

Dieses Gleichungssystem hat die Lösung \(a_1=\frac 32-b_1, a_2=-b_2,\) oder anders ausgedrückt:

$$f_1(e_1)=\begin{pmatrix}\frac32\\0\end{pmatrix}-f_1(e_2)$$ (man hätte hier auch einfach oben durch zwei dividieren können, aber je nach Angabe braucht man das Gleichungssystem manchmal in der obenstehenden Form, um es umformen und lösen zu können).

Also, warum habe ich oben gesagt, dass noch eine Angabe zu wenig ist: Diese Gleichung erfüllen noch sehr viele lineare Funktionen, genauer gesagt alle Funktionen der Form:

$$f\colon \mathbb R\rightarrow \mathbb R\colon \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}a_1&\frac32-a_1\\a_2&-a_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

Beweis: $$f\left(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a_1&\frac32-a_1\\a_2&-a_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot a_1+2\cdot (\frac32-a_1)\\2\cdot a_2+2\cdot (-a_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot a_1+3-2\cdot a_1\\2\cdot a_2-2\cdot a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}.$$

Die meisten dieser Funktionen sind bijektiv, bilden also Basisvektoren wieder auf eine Basis ab, also auf linear unabhängige Vektoren.

Falls das jetzt ganz weit weg von deiner eigentlichen Fragestellung war, wäre es ganz hilfreich, wenn du die ganze Aufgabenstellung abschreiben könntest.

Comments

Danke alles perfekt so, jetzt noch eine weitere Frage, ich habe noch einen anderen Vektor den ich in die gleiche Funktion einsetzten muss, reicht es hinzugehen und für mein berechnetes a₁ und a₂ die Werte die bei dem anderen Vektor rauskommen einzusetzten und wenn diese nicht wieder (3, 0) ergeben dann einfach zu sagen, dass die Abbildung nicht linear abhängig ist, falls (3, 0) nicht das Ergebnis ist?

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Das war die fehlende Angabe, über die ich mich vorher beschwert habe, aber die Vorgehensweise ist anders. Du solltest zeigen, dass \(f_1\) keine bijektive Funktion sein kann, wenn sie beiden Gleichungen genügt und linear ist.

Keine bijektive lineare Funktion kann zwei verschiedene Vektoren auf denselben Vektor abbilden (also (3 0) kann schonmal nicht der Vektor sein, der auf der rechten Seite der Ungleichung steht). Und nicht bijektive lineare Funktionen haben mindestens eine Dimension weniger, haben also einen Vektor weniger in ihrer Basis. Wenn du also eine Funktion von \(\mathbb R^2\) nach \(\mathbb R^2\) hast, die nicht bijektiv ist, sind zwei Funktionswerte immer linear abhängig (weil \(\mathbb R^2\) Dimension 2 hat und somit eine nicht bijektive Funktion auf etwas Eindimensionales abbildet).

Warum schreibst du nicht die komplette Angabe der Aufgabe hier auf?

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Sorry, habe mich da oben unklar ausgedrückt. Ich meinte: Wenn du eine nicht bijektive lineare Funktion \(f\colon V\rightarrow W\) hast, dann hat \(W\) mindestens eine Dimension weniger als \(V\).