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Beweise durch vollständige Induktion ,dass

\( 1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{5}\right)^{3}+\ldots+\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=\frac{5}{4}\left(1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}\right) \)

für alle natürlichen Zahlen n gilt.

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Verankerung: 

Die Gleichung gilt für n = 1, denn

1 + (1/5)^1 = 6/5 und

5/4 * (1 - (1/5)^2) = 5/4 * (1 - 1/25) = 5/4 * 24/25 = 120/100 = 6/5

 

Annahme: 

Die Gleichung gelte für n

1 + (1/5)^1 + ... + (1/5)^n = 5/4 * (1 - (1/5)n+1)

 

Schritt: 

Dann soll sie auch für n+1 gelten

1 + (1/5)^1 + ... + (1/5)^n + (1/5)n+1 = 5/4 * (1 - (1/5)n+1+ (1/5)n+1

Zu zeigen: 

5/4 * (1 - (1/5)n+1) + (1/5)n+1 = 5/4 * (1 - (1/5)n+2)

5/4 - 5/4*(1/5)n+1 + (1/5)n+1 = 5/4 - 5/4*(1/5)n+2

-5/4*(1/5)n+1 + (1/5)n+1 = -5/4*(1/5)n+2

1/4*(1/5)n+1 = 5/4*(1/5)n+2

(1/5)n+1 = 5*(1/5)n+2

(1/5)n+1 = 5*(1/5)*(1/5)n+1 | : (1/5)n+1

1 = 5*(1/5)

stimmt :-)

Avatar von 32 k
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Hi,

mal in Kurzform ;).

I.A.

für n=0

(1/5)^0=1    und 5/4(1-1/5)=1

 

Nun auch zeigen für n+1

Linke Seite umformen (der rote Teil ist den I.A. eingesetzt):

 

Rechte Seite umformen:

 

Der grüne Teil passt also. Bedingung gezeigt :).

 

Grüße

Avatar von 140 k 🚀

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