Rang(AB) ≤ Rang(A) und Rang(AB) ≤ Rang(B)

Question

Es sei K ein Körper und A ∈ Kp×q sowie B ∈ Kq×r.

Zeigen Sie, dass Rang(AB) ≤ Rang(A) und Rang(AB) ≤ Rang(B) gilt.

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? 

Comments

Siehe: https://www.mathelounge.de/407605/rang-ab-%E2%89%A4-rang-a-und-rang-ab-%E2%89%A4-rang-b

Answer 1

 

          

                \( \begin{pmatrix} a_{1}\\a_{2}\\...\\a_{p} \end{pmatrix} \)           *    \( \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & ... & b_r \end{pmatrix} \)                =  \( \begin{pmatrix} Ab_1 & Ab_2 & ... & Ab_r \end{pmatrix} \)

(a) Rang(AB) ≤ Rang(B)

Bew:

Falls eine lin.abhängige Auswahl b_1', b_2', ... b_k'  existiert, gilt:

\( \sum\limits_{n'=1'}^{k'}{λ_{n'}b_{n'}} \) = 0 ⇒ ∃λ_n' ≠0 

d.h.  \( \sum\limits_{n'=1'}^{k'}{λ_{n'}Ab_{n'}} \) = 0 = A\( \sum\limits_{n'=1'}^{k'}{λ_{n'}b_{n'}} \) ⇒ ∃λ_n' ≠0

d.h. die Auswahl Ab_1', Ab₂', ... Ab_k' ist dann lin.abhängig.

d.h. eine Auswahl lin.unabhängiger Ab's ist höchstens so mächtig wie eine Auswahl lin. unabhängiger b's.

d.h Rang(AB) ≤ Rang(B)

Falls keine lin.abhängige Auswahl b1', b2', ... bk'  existiert, gilt: q=r = Rang(B), Rang(AB)≤r und Rang(AB)≤p, also auch

Rang(AB)≤Rang(B)           q.e.d.

(b) Rang(AB) ≤ Rang(A)   

Bew:

Sei b^*= \( \begin{pmatrix} b^{*}_1\\b^{*}_2\\... \\b^{*}_q\end{pmatrix} \) ∈ {b₁,b₂,...,b_r}

dann Ab^* =  \( \sum\limits_{n=1}^{q}{a_{n}b^{*}_{n}} \) liegt als Lin.komb. im Erzeugnis < a₁,a₂,...,a_q >

also liegen alle Ab₁,Ab₂,...,Ab_q im Erzeugnis < a₁,a₂,...,a_q >

also dim(<Ab₁,Ab₂,...,Ab_q>) = Rang(AB) ≤  dim(< a₁,a₂,...,a_q >) = Rang(A)         q.e.d.