Zeigen, dass die Menge K = {(a b|-b a)∈ℝ^2x2|a,b∈ℝ} mit ... einen Körper bildet.

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Zeigen, dass die Menge K = {(a b|-b a)∈ℝ^2x2|a,b∈ℝ} mit mit der üblichen Matrix-Addition und
-Multiplikation einen Körper bildet einen Körper bildet.Bild Mathematik

Gefragt 10 Jan von Jarvis

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Liste:

1.  Ring hat ein 1-Element

2.   multiplikation ist kommutativ


3. alles ausser 0 hat ein multiplikatives Inverses.


Nachweis:   1-Element ist

1  0
0  1

und gehört nach Def. zu K ( a=1 b=0 )kommutativ :

a    b      *     c    d     =  ac-bd     ad+bc
-b   a            -d    c        -ad-bc    ac-bd

und umgekehrt gibt es das gleiche.

Inverses ist immer (außer a=0 n=0 ,

da braucht es auch keins zu geben )

a/(a2+b2)          -b/(a2+b2)
b/(a2+b2)          a/(a2+b2)

und ist also auch in K.
Beantwortet 10 Jan von mathef Experte CXVII

Wie berechnet man das Inverse (dürfen die explizite Formel nicht verwenden)

Setze einfach deine Matrix und die
Einheitsmatrix nebeneinander

a   b         1  0
-b  a         0  1  

und dann Zeilenumformungen machen,
bis es umgekehrt ist

1    0       a/(a2+b2)          -b/(a2+b2)
0    1       b/(a2+b2)           a/(a2+b2)

Wie macht man diese Zeilenumformung?

Könntest du das mir bitte vorrechnen... komme nicht weiter.

z.B. die erste Zeile mal b und die 2. mal a gibt

ab     b*b         b   0
-b*a  a*a          0  a

dann 1. und zweite addieren gibt   


ab     b*b              b   0 
  0    a2+b2          b    a   

dann die zweite durch   a2+b2         etc. 

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