Bestimmen Sie drei verschiedene Lösungen z der Gleichung 1^z = −1 .

Question

Hallo Community,

ich Rätsle nun schon ein Weile an dieser Aufgabe:

"Bestimmen Sie drei verschiedene Lösungen z der Gleichung 1^z = −1 . Geben Sie für jede Lösung z auch den Zweig der Potenz 1z an, für den die Gleichung gilt."

Ansatz 1:

1^z = -1 // log

z = log(-1)

Formelsammlung sagt:

log(-1) = pi + k * 2 * pi

Hauptzweig wäre also pi

z = pi

Ansatz 2:

1^z = -1

-> -1 = 1*e^{pi*i}

1^z = e^{pi*i} // log

z = i*pi

Hab noch andere Ansätze die auch nicht funktionieren.

Etwas (nämlich die Lösung) sagt mir, dass das falsch ist. Laut Lösung ist der erste Zweig 1/2

Kann mir jemand sagen wo mein Denkfehler ist (von dessen Existenz ich grad sehr überzeugt bin :) )?

 .

Comments

Sagt dir was komplexe zahlen? Damit kannst du es lösen ;)

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Natürlich, daher die Ansätze mit eulerscher Form oder komplexem Logarithmus :)

Allerdings scheine ich gerade irgendetwas zu übersehen, da meine Lösungen falsch sind und ich einfach nicht drauf komme wo es klemmt.

Answer 1

1 = e^0

1 = e^{2πi}

1 = e^{4πi}

usw.

Ebenfalls

1 = e^{-2πi}

usw.

Vielleicht hilft das irgendwie?

Ausserdem

-1 = e^{iπ + 2mπi}

Also e^{-iπ + 2mπi} = ( e^ (2kπ i)) ^z

=  e^{z*2kπ i}

Exponentenvergleich

iπ + 2mπi = z*(2kπi)     | Gleichung für z

(iπ + 2mπi)/(2kπi) = z

(1+2m) / (2k) = z

Und nun für k und m ein paar ganze Zahlen einsetzen, allerdings k≠0.

Kann allerdings nicht wirklich sein, da ich für z reelle Zahlen erhalte. Oder?

Probe mit üblichen Potenzregeln stimmt interessanterweise :

1^ ((1+2m)/(2k)) = -1       | ^2k

1^{1 + 2m} = (-1)^{2k}

1 = 1

? Weitere Probe https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%5E(3%2F4)

Comments

Danke für deine Hilfe, aber ich hab's jetzt einfach aufgegeben, mir ist schlicht nicht klar, wie die Lösungen zu Stande kommen. Zum Fragen ist es nun auch zu spät. Einfach hoffen, dass in der Prüfung eine Aufgabe dran kommt, die einfacher lösbar ist :)