Zeigen Sie, dass fur zwei Punkte v, w ∈ R^n die folgenden Begingungen äquivalent

Question

die Aufgabenstellung sieht wie gefolgt aus: (Habe leider keine Ahnung, wie ich es angehen soll)

Zeigen Sie, dass fur zwei Punkte  v, w ∈ R^n  die folgenden Begingungen äquivalent

sind

(i) v ungleich 0 und w liegt nicht auf der Geraden durch 0 und v.

(ii) w ungleich 0 und v liegt nicht auf der Geraden durch 0 und w.

(iii) v ungleich 0 und es gibt kein ρ ∈ R mit w = ρ · v.

(iv) w ungleich 0 und es gibt kein ρ ∈ R mit v = ρ · w.

(v) Sind λ, µ ∈ R mit λv + µw = 0, so folgt λ = µ = 0.

Hinweis: Sie mussen nicht jede Äquivalenz einzeln zeigen. Beispielsweise folgt die

Äquivalenz dreier Aussagen p, q, r schon aus der Gultigkeit der drei Aussagen p ⇒ q,

q ⇒ r und r ⇒ p.

Bemerkung: Falls eine (und damit alle) der obigen Bedingungen erfullt ist, heißen  v

und w linear unabhängig

Comments

Sie mussen mal Ihren Text uberarbeiten!

Answer 1

i)  v ungleich 0 und w liegt nicht auf der Geraden durch 0 und v.

Die Gerade durch 0 und v hat die Gleichung g: x = 0 + t*(v-0)

w nicht darauf heißt  :  Es gibt kein t aus IR mit  w = 0 + t*(v-0) = t*v

also hat man : Es gibt kein  ρ ∈ R mit w = ρ · v.  ( und v ≠ 0 s.o. )

Also hat man  (i) ==> ( iii) .

Gelte (iii) dann hat man auch w≠0 ( denn sonst wäre (iii) mit p=0 erfüllt)

und gäbe es ein q mit v = q*w dann ist wegen v≠0 auch q ≠0 also

existiert 1/q und man hätte   w = 1/q * v im Widerspruch zu (iii) .

Also hat man  (iii) ==> (iv) .


etc. immer aus einem ein anderes folgern.