Question

Monotonie von f: R -> [0,unendlich),  f(x)=cosh(x)

Wie löst man folgende Aufgabe? Könnte mir jemand vielleicht erklärend ein Lösungsvorschlag mit Rechnung schreiben. 

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Du kannst hier die Illustration bei https://www.mathelounge.de/416624/defbereich-arcosh-x benutzen.

Answer 1

f(x) = COSH(x) = 0.5·(e^x + e^{-x})

Kannst du sagen ob die Funktion stetig auf ganz R ist ?

Kannst du eventuell eine Aussage über eine eventuell Symmetrie der Funktion machen?

Kannst du die 1. Ableitung und bei Bedarf auch die 2. Ableitung bilden?

Kannst du die Funktion mit Hilfe der 1. Ableitung auf Extrempunkte untersuchen?

Kannst du aufgrund der Extrempunkte eine Aussage über die Monotonie machen?

Jetzt solltest du eine Aussage über f(-5) > f(2) machen können ohne die Funktionswerte wirklich zu berechnen.

Answer 2

f ( x ) = cosh ( x ) = 0.5·( e^x + e^-x )
f ´( x ) = 0.5 * ( e^x - e^{-x} )

Monotonie = 0
0.5 * ( e^x - e^{-x} ) = 0
e^x - e^{-x} = 0
e^x = e^{-x}
x = -x
x = 0

Monotonie : positiv
0.5 * ( e^x - e^{-x} ) > 0
e^x - e^{-x} > 0
e^x > e^{-x}
x > -x
2x > 0
x > 0

Da die Funktion nur in [ 1 ; ∞ [  gilt
ist die Monotonie im Def-Bereich
nur positiv / steigend.