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ich bin gerade am Wiederholen und komme bei einer der Aufgaben nicht weiter..

 Sei A eine endliche Menge und $$f:  A \to A$$ eine Funktion. Fur alle a A sei  f0(a) := a und  fi(a) := f(fi−1(a))   fur  i ∈ N. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen aquivalent sind:

(a) f ist injektiv.

(b) f ist surjektiv.

(c) Es gibt ein i ∈ N mit fi = f0.


Freue mich über jede Hilfe!

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1 Antwort

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(a) f ist injektiv. 


==>  Da A endlich ist, etwa A = { a1 , ... , an }

und f Injektiv, sind die Elemente f(a1) , ... , f(an) alle verschieden

aber auch alle in A.  n verschiedene Elemente einer n-elementigen

Menge, sind die ganze Menge, also ist 

{ f(a1) , ... , f(an) } = A , also f surjektiv.

(b)  =>  c)   f ist surjektiv.    Dann ist { f(a1) , ... , f(an)} = A ,

also unterscheiden sich ( a1 , ... , an ) und ( f(a1) , ... , f(an)  )nur durch die Anordnung der Komponenten . Da es nur endlich viele


solcher Anordnungen gibt, gibt es k < m mit  fk = fm   also


fo = f m-k   


c)  => a)  ???

(c) Es gibt ein i ∈ N mit fi = f0.

Avatar von 287 k 🚀

Ich überleg mir zu der c) noch was.

Meine Idee dazu wäre:

Wenn irgend ein fi = f0 ist, dann ist ja die Bildmenge von fi wieder

ganz A und deshalb kann es nicht unterschiedliche a's aus A geben,

die das gleiche Bild haben.  Oder so ??

ja so hab ich mir das auch gedacht, also deutlicher wird es wenn man sich fi anschaut, dass ist ja f(f(..f(a))) und wenn f jetzt nicht injektiv wäre, dann hätte man ja am nach i Verknüpfungen mindestens ein Element weniger, dass kann aber nicht sein

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