Question

Realteil und Imaginärteil von z^2, wenn z = (1+i)/(1 - √(3) i ) ?

ich hab folgendes raus:

Re(z) = -1/2 , Im(z)= 1, Re(z^2)=(-0.5)^2=1/4, Im(z)=1

Answer 1

Wenn \(z=\frac{1+i}{1-i\sqrt{3}}\), dann kann man das mittels Erweitern von \(1+i\sqrt{3}\) umformen.

$$z=\frac{1+i}{1-i\sqrt{3}}=\frac{(1+i)(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})}=\frac{1-\sqrt{3} + i(1+\sqrt{3})}{1+3}$$

Damit ist der Realteil von \(z\) \(\text{Re}(z)=\frac{1-\sqrt{3}}{4}\) und der Imaginärteil \(\text{Im}(z)=\frac{1+\sqrt{3}}{4}\). für \(z^2\) gilt entsprechend

$$z^2=\frac{1}{4^2}\cdot\left( (1-\sqrt{3})^2- (1+\sqrt{3})^2 + 2(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})i\right) = \frac{1}{4}(-\sqrt{3} - i )$$

D.h. \(\text{Re}(z^2)=\frac{-\sqrt{3}}{4}\) und \(\text{Im}(z^2)=\frac{-1}{4}\).

Gruß Werner

Answer 2

\( z=\frac{1+i}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{(1+\sqrt{3} i)}{(1+\sqrt{3} i)} \)
\( z=\frac{1+\sqrt{3} i+i-\sqrt{3}}{1+3} \)
\( z=\frac{1-\sqrt{3}+i(1+\sqrt{3})}{4} \)
\( z=\frac{1-\sqrt{3}}{4} + i \frac{1+\sqrt{3}}{4}\)
\( =\operatorname{Re}(z)=\frac{1-\sqrt{3}}{4} \)
\( =\operatorname{Im}(z)=\frac{1+\sqrt{3}}{4} \)