Integral mit Tangente. Wie kommt hier auf den Flächeninhalt?

Question

Wie berechnet man den Inhalt der Fläche , die vom Graphen von f , der Tangente in P und der x-Achse begrenzt wird ? 

Wie geht man hier vor ? Und wie lautet dann der Rechenweg bei diesen beiden Aufgaben ?

a) f (x) = 1/2x^2 ; P (3/4,5)

b) f (x) = (x-2)^4 ; P (0/16)

Comments

Hallo bobomo,

Wie kommst du auf diese Steigungsformel ?

Wird nicht y=m×x+b angewendet?

Ich nutze nur die übliche Form für eine
lineare Funktion  y = m * x + b

Die Reihe
1.Grades : f ( x ) = m * x + b
2.Grades : f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
3.Grades : f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
usw
ist einfach zu merken.

mfg Georg

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Ich kenne die Formel ist eher denn nicht :

Y = m * x + b

4.5 = 3 * 3 + b

0.5 = b

?

Answer 1

a) Tangentengleichun bestimmen: Steigung an der Stelle 3 ist m=3. Punkt-Steigungsform 3=(4,5-y)/(3-3) nach y audfgelöst y=3x-4,5.

Berechnung der Fläche zwischen den Graphen: Differenzfunktion x²/2-3x+4,5 in den Grenzen von 0 bis 3 ist [x³/6-3x²/2+9x/2]₀³=4,5.

Davon ist noch das Dreieck D aus den Koordinatenachsen und der Tagente zu subtrahieren D=1,5·4,5/2=3,375 zu subtrahieren.

Die gesuchte Fläche ist 4,5-3,375=1,125

Comments

Wie kommst du auf diese Steigungsformel ?

Wird nicht y=m×x+b angewendet?

Vielen Dank

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Du willst sicher wissen, wie ich auf die Steigung der Tangente komme. f '(x)=x und f '(3)=3. Wenn du die Punkt-Steigungsformel nicht kennst, kannst du jetzt auch mit y=3x+b weitermachen und den Punkt (3;4,5) einsetzen, Dann erhältst du b= - 4,5.

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Ich kenne die Formel ist eher denn nicht :

Y = m * x + b

4.5 = 3 * 3 + b

0.5 = b

?

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"Ich kenne die Formel ist eher denn nicht..."

Der Satz macht gar keinen Sinn.

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Ich meine damit ob man das nicht so rechnen würde ?

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Nein, das kann man nicht. Wenn du da stehen hast

4,5 = 9 + b

und durch 9 teilst, erhältst du

0,5 = (9 + b)/9

und das ist

0,5 = 9/9 + b/9

Und daraus wird wiederum

0,5 = 1 + b/9

Du siehst das bringt dich nicht weiter. Statt dessen solltest du in der ersten Zeile minus 9 rechnen. Dann bekommst du

4,5-9 = 9 -9 + b

-4,5 = b

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Achsoo das hat mich ganze zeit verwirrt ok

Answer 2

Wie geht man hier vor ? Und wie lautet dann
der Rechenweg bei diesen beiden Aufgaben ? 

a) f (x) = 1/2x² ; P (3/4,5)

Eine Tangente ( als Gerade ) hat die Funktion

t ( x ) = m * x + b

Für den Berührpunkt gilt
f ( x  ) = t ( x )  |  gleiche Koordinaten
f ´( x ) = t ´ ( x ) |  gleiche Steigung

1/2 * x² =  m * x + b
[ 1/2 * x^2 ] ´ = [ m * x + b ] ´

x = m
Für den Punkt P ( 3 | 4.5 ) ist
3 = m
m = 3
t ( x ) = m * x + b
t ( 3 ) = f ( 3 ) = 4.5 = 3 * 3 + b
b = - 4.5

t ( x ) = 3 * x - 4.5

Jetzt wird es Zeit für eine Skizze.

 

Gesucht ist die Fläche zwischen blau und rot und der
x-Achse.

∫ f ( x ) dx  zwischen 0 und 3
minus
( 3 - 1.5 ) * 4.5 / 2  ( Dreieck : Grundlinie * Höhe halbe )

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mfg Georg

Comments

Hier muss man auch die Stammfunktion von 1/2x^2 nehmen oder?

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Und macht man nicht immer 0.5*g*h?

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Hier muss man auch die Stammfunktion von
1/2x² nehmen oder?

∫ f ( x ) dx  zwischen 0 und 3
S ( x ) = ∫ 1 /2 * x^2 dx
S ( x ) = 1/2 * x^3 / 3 = x^3 / 6
[ x^3 / 6 ] ₀ ³
3^3 / 6 - 0^3 / 6
27 / 6
4.5

minus
0.5*g*h? ist das doch ( siehe oben )

( 3 - 1.5 ) * 4.5 / 2  ( Dreieck : Grundlinie * Höhe halbe )
1.5 * 4.5 / 2
3.375

 4.5 - 3.375
1.125

Wenn möglich stelle einmal deine
Berechnungen für b.) ein.