Vektorraum der Polynome von Grad ≤ 2, Basen (Lineare Algebra). Aufgabe mit Ansatz / Lösung

Question

[Hilfe zum Verständnis] 

Es sei V der reelle Vektorraum der Polynome von Grad ≤ 2. Für α,β ∈ ℝ seien

Wα = {f ∈ V | f(α) = 0 }  und  D_β = {f ∈  V | f ' (ß) = 0 },

wobei f ' die Ableitung von f sei.

a) Geben Sie die Basen von Wα,  Dβ  und  Wα ∩ D_β an.

Mein Ansatz bzw. Lösung (durch Hilfe erhalten) :

c₀ + c₁X + c₂X² ∈ V liegt in Wα, falls c_{0 +} c_{0α +} c_{1α +} c_2α² = 0.

LGS bereits in Gauß-Normalform, folgt mit dem  (-1)-Trick die Menge {X - α, X² - α²} als Basis des Lösungraums, also Basis von Wα.

Bei Dβ  und  Wα ∩ D_β geht man ähnlich vor. Meine Frage: Wie kommt man auf diese Lösung? Ich habe die Vorgehensweise nicht ganz nachvollziehen können, wäre sehr nett, wenn man mir einfach die Vorgehensweise beim Lösen der Aufgabe erläutert. Woher kommt z.B. die Gleichung c_{0 +} c_{0α +} c_{1α +} c_2α² = 0 ?

Answer 1

Polynome kann man immer auf einen anderen Mittelpunkt umschreiben: $$f(x)=ax^2+bx+c=\overline{a}(x-\alpha)^2+\overline{b}(x-\alpha)+\overline{c}.$$ Wegen \(f(\alpha)=0\) also $$f(x)=\overline{a}(x-\alpha)^2+\overline{b}(x-\alpha).$$ Das gibt $$\{x-\alpha,(x-\alpha)^2\}$$ als Basis von \(W_\alpha\).

Comments

Ah, ok.