inhomogene Differentialgleichung y´(x)+sin(x)*y(x)=sin(x)

Question

Ich bräuchte mit bitte Hilfe beim Ansatz dieses Beispiels, wäre sehr dankbar dafür.

Answer 1

löse zuerst die homogene Differentialgleichung, danach kannst du die partikuläre Lösung mithilfe der Variation der Konstanten erhalten:

$$ y'+sin(x)y=sin(x)\\\text{homogene DGL:}\\{ y }_{ h }'+sin(x){ y }_{ h }=0\\\frac { d{ y }_{ h } }{ y }=-sin(x)dx\\{ y }_{ h }=C{ e }^{ cos(x) }\\\text{Variation der Konstanten: }\\{ y }_{ p }=C(x){ e }^{ cos(x) }\\{ y }_{ p }'+sin(x){ y }_{ p }=C'(x){ e }^{ cos(x) }=sin(x)\\C'(x)=sin(x)*{ e }^{ -cos(x) }\\C(x)={ e }^{ -cos(x) }+D\\{ y }_{ p }=1+D{ e }^{ cos(x) }\\y={ y }_{ h}+{ y }_{ p }=C{ e }^{ cos(x) }+D{ e }^{ cos(x) }+1={ c }_{ 1 }{ e }^{ cos(x) }+1 $$

Comments

wie löst man die partielle integration: C´(X)= sin(x)*e^-cos(x)

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Hallo chilla,
I = ∫ sin(x) * e^-cos(x) dx =  e^-cos(x) + k                                                                                                      Man macht das mit der Substitution z = - cos(x)   →  dz/dx =  sin(x)  →  dx =  1/sin(x)  dz                 I = ∫ sin(x) * e^z * (1 / sin(x) dz = ∫  e^z dz =  e^-cos(x) + k                                                                                oder durch genaues Hinsehen:  ∫ u ' * e^u  =  e^u + k
Gruß Wolfgang

Answer 2

Diese DGL kannst Du mittels Trennung der Variablen lösen.

y' +sin(x) y=sin(x) | -sin(x) *y

y ' = sin(x) -sin(x) *y

y ' = sin(x) (1-y)

dy/dx=  sin(x) (1-y)

dy/(1-y)= sin(x) dx

usw.

Comments

danke für die hilfe erstmal,

wie kommt man bei der umformung auf (1-y)?

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ich habe sin(x) ausgeklammert.

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achja danke,ich stehe jetzt vor der partiellen integration C´(X)= sin(x)*e^-cos(x) wie löse ich die? ist das nicht eine endlose integration?

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so geht es bei dieser Lösung weiter :

das löst Du dann nach y auf.

Ergebnis: y=K₁ * e^{cos(x)} +1

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y= e^cos(x)*C(x)y´=...dann setz ich y´ und y ein rauskommt C´(x)= sin(x)*e^-cos(x) ... wie integriere ich hier?