ich unterstelle mal, dass Du den Induktionsanfang hin bekommst.
Für den Induktionsschritt setze ich die Gleichung für \(a_n\) in die Rekursion ein.
$$a_{n-1}+a_{n-2}= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} \\ \quad + \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2}$$
Ich klammere jetzt jeweils \( \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2}\) aus
$$= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1\right) - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} \cdot \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} + 1 \right)$$
$$= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} \cdot \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} \cdot \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)$$
... eine kurze Unterbrechung - ich betrachte jetzt den Term
$$\left( \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{1 \pm 2 \sqrt{5} + 5}{4}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{4}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$$
dann kann man den obigen Term umwandeln in
$$= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} \cdot\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^{n-2} \cdot \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^2$$
$$= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^{n} =a_n$$
q.e.d.
Gruß Werner
