Induktion: Mit a^2 − b^2 = (a − b)(a + b). Zeigen, dass 2^{n+1} Teiler ist von 3^ (2^n) - 1 .

Question

$$Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad { 2 }^{ n+1 }\quad für\quad alle\quad n∈N\quad ein\quad Teiler\quad von\quad { 3 }^{ { 2 }^{ n } }−1\quad ist.\\ (Hinweise:\quad Induktion\quad und\quad { a }^{ 2 }−{ b }^{ 2 }=(a−b)(a+b).)$$

Answer 1

IA: n = 0

3^{2^0} - 1 ist durch 2^{0 + 1} teilbar.

2 ist durch 2 teilbar.

stimmt

IS: n --> n + 1

3^{2^{n + 1}} - 1 ist durch 2^{n + 2} teilbar.

3^{2·2^n} - 1 ist durch 2·2^{n + 1} teilbar.

(3^{2^n})^2 - 1 ist durch 2·2^{n + 1} teilbar.

(3^{2^n} - 1)·(3^{2^n} + 1) ist durch 2·2^{n + 1} teilbar.

3^{2^n} - 1 ist per Induktionsannahme durch 2^{n + 1} teilbar.

(3^{2^n} + 1) ist eine Ungerade Zahl plus 1 also eine gerade Zahl und damit durch 2 teilbar.

Damit ist die Behauptung gezeigt.