Ableiten wenn x im Exponent ist: 5^{x²} (1. und 2. Ableitung)

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich 5^{x²} ableiten soll.

Keine Ahnung wie das geht, haben wir noch nie gemacht :)

Ich brauche die 1. und 2. Ableitung!

Answer 1

Nach den Potenzgesetzen kannst du das zunächst zu einer e-Funktion umformen:
Wegen e^ln(x) = x und dem Potenzgesetz (x^a)^b = x^a*b gilt nämlich:

f(x) = 5^x² = (e^ln(5))^x² = e^ln(5)*x²

was nun nach der Kettenregel abgeleitet werden kann.

Die Kettenregel lautet:
[h(g(x))]' = h'(g(x)) * g'(x)
Man sagt auch "Äußere Ableitung mal innere Ableitung" und nennt g'(x) die Nachdifferentiation.

In unserem Fall gilt:
h(x) = e^x

g(x) = ln(5)*x²

 

Also: h'(x) = e^x

g'(x) = 2 ln(5)*x

Beachte für g'(x), dass ln(5) einfach nur eine Zahl ist, die nicht abgeleitet werden muss!

Die gesamte (erste) Ableitung lautet also:
f'(x) = h'(g(x))*g'(x) = e^ln(5)*x² * 2 ln(5)*x

Für die zweite Ableitung muss die Produktregel angewandt werden. Den ersten Faktor haben wir aber schonmal abgeleitet, das ist nämlich die Ausgangsfunktion. Für die Ableitung setzen wir einfach wieder ein, was wir schon haben.

f''(x) = e^ln(5)*x² * 2 ln(5)*x *  2 ln(5)*x + 2 ln(5) * e^ln(5)*x²

f''(x) = (4 ln(5)² x² + 2 ln(5)) * e^ln(5)*x²