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Aufgabe Streckensymmetrie:

Ermittle eine Gleichung jenes Kreises, auf dem die Punkte A, B und C liegen.

Berechne die Schnittpunkte dieses Kreises mit den Koordinatenachsen.

a) \( A=(-2|4), B=(13|-9), C=(9|7) \)

b) \( A=(-6|4), B=(2 |-2), C=(-4 | 10) \)

Hinweis: Streckensymmetralen!

Ich brauche Hilfe zur Nummer b) Kreisgleichung.

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In der Skizze kannst du eigentlich direkt konstruieren:

~draw~ polygon(-6|4 2|-2 -4|10);punkt(-6|4 "A");punkt(2|-2 "B");punkt(-2|1 "MAB");gerade(-2|1 4|9);punkt(-4|10 "C");punkt(-5|7 "MAC");gerade(-5|7 -2|6);punkt(-1|4 "MBC");gerade(-1|4 1|5);kreis(1|5 7){00F}#;punkt(1|5 "M");zoom(13) ~draw~

Nun noch die Rechnung mit den Geradengleichungen usw. aufschreiben.

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( -6 | 4 )
( 2 | -2 )
( -4 | 10 )

allgemeine Kreisgleichung

r^2 = ( x - xm )^2 + ( y - ym )^2

r^2 = ( -6 - xm )^2 + ( 4 - ym )^2
r^2 = ( 2 - xm )^2 + (-2 - ym  )^2
r^2 = ( -4 -xm )^2 + (  10 - ym )^2

( -6 - xm )^2 + ( 4 - ym )^2 = ( 2 - xm )^2 + (-2 - ym  )^2
( 2 - xm )^2 + (-2 - ym  )^2 = ( -4 -xm )^2 + (  10 - ym )^2

Matheprogramm

xm = 1
ym = 5

r^2 = ( x - 1  )^2 + ( y  - 5 )^2
( -6 | 4 )
r^2 = ( -6 - 1  )^2 + ( 4  - 5 )^2

r = 5 * √ 2

( 5 * √ 2 )^2=  ( x -1 )^2 + ( y - 5 )^2

Alle 3 Punkte liegen auf diesem Kreis.

Solltet ihr die Aufgabe ohne GRT oder CAS lösen ?

Schnittpunkte mit der x-Achse.
y = 0 einsetzen

Schnittpunkte mit der y-Achse.
x = 0 einsetzen

mfg Georg

Avatar von 122 k 🚀
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Du brauchst weder einen GTR noch ein CAS.

Alle drei Punkte in die allg. Kreisgleichung \( (x-x_M)^2+(y-y_M)^2 = r^2 \) einsetzen:

$$ (-6-x_M)^2+(4-y_M)^2 = r^2 $$

$$ (2-x_M)^2+(-2-y_M)^2 = r^2 $$

$$ (-4-x_M)^2+(10-y_M)^2 = r^2 $$

Ergibt:

$$ -12x_M+8y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 52 $$

$$ 4x_M-4y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 8 $$

$$ -8x_M+20y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 116 $$

Substitution \( K = (r^2-x_M^2-y_M^2) \) ergibt das LGS:

$$ -12x_M+8y_M+K = 52 $$

$$ 4x_M-4y_M+K = 8 $$

$$ -8x_M+20y_M+K = 116 $$

Damit:

\( x_M = 1 \), \( y_M = 5 \) und \( K = 24 \)

und damit:

\( r = \sqrt{50} \).

Und damit dann:

$$ (x-1)^2+(y-5)^2 = 50 $$

Schnittpunkte mit den Achsen bekommst Du für \( x = 0 \) bzw. \( y = 0 \).

Grüße,

M.B.

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Man könnte natürlich auch den Hinweis beachten und so vorgehen:

Berechne den Mittelpukt MAB der Strecke AB und die Steigung mAB der Strecke AB.

Bestimme die Gleichung der Mittelsenkrechten g von AB mit der Steigung -1/ mAB und dem Punkt MAB.

Wiederhole eine derartige Rechnung für die Mittelsenkrechte h von BC.

Der Schnittpunkt S (xm;ym) von g und h ist der Mittelpukt des Kreises. Die Länge der Strecke SA ist der Radius r des Kreises.

Nun Radius r und Mittelpunkt (xm;ym) in r2 = ( x - xm )2 + ( y - ym )2 einsetzen.

Schnittpunkte mit der x-Achse erhält man für y = 0.

Schnittpunkte mit der y-Achse erhält man für x = 0

Avatar von 123 k 🚀

Hallo Roland,
da ich ja auch noch am Lernen bin.

Kurzform des Lösungswegs :
Die 3 Punkte zum Dreieck verbinden.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
zweier beliebiger Seiten ist der Mittelpunkt
des Kreises.

Hoffentlich behalte ich das bis zur nächsten
gestellten Frage.

mfg Georg

Mit Besichtigung der Zeichnung ist das vielleicht noch besser zu merken:

~draw~ dreieck(-6|4 2|-2 -4|10);gerade(-2|1 1|5);gerade(-5|7 1|5);kreis(1|5 7.07);zoom(12) ~draw~

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