\( \int \underbrace{x}_{v'} \cdot \underbrace{\ln (3 x)}_{u} d x \\ u^{\prime} = \frac{1}{3 x} \\ v = \frac{1}{2}x^2 \)
\( \left[\ln (3 x) \cdot \frac{1}{2} x^{2}\right]-\int \frac{1}{3 x} \cdot \frac{1}{2} x^{2} d x \)
Ich weiß nicht, ob ich 1/3x mit 1/2x^2 multiplizieren kann.
u ' = [ (ln(3x) ] ' = 1/(3x) * 3 = 1/x
∫ u * v ' = u * v - ∫ v * u '
∫ x * ln(3x) dx = 1/2·x2 · ln(3x) - ∫ 1/2·x2 · 1/x dx = 1/2·x2 · ln(3x) - 1/4 x2 + c
Gruß Wolfgang
Hi,
na klar darfst Du! Und danach wirds trivial. Auf geht's! :)
Grüße
Doch das kannst Du.
u' ist aber falsch , es muß sein = 1/x
das Ergebnis zum Vergleich:
=ln(3x) *x^2/2 - x^2/4 +C
in der dritten Zeile ist ein Fehler:
1/(3x)*x^2/2=x/6
Erst einmal ist in der 1. Zeile ein Fehler: u ' = 1/x [ ≠ 1/ (3x) ]
$$\int x\cdot ln(3x)\quad dx\\ u=ln(3x)\\ u'=\frac{1}{x}\\ v=\frac{x^2}{x}\\v'=x\\ \text{allg. }\int u\cdot v-\int u'v\quad dx\\ =ln(3x)\cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{x}dx\\ =ln(3x)\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int x \quad dx\\ =ln(3x)\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}+c\\ =ln(3x)\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+c$$
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